Question

【題目】若一個四邊形的兩條對角線互相垂直且相等，則稱這個四邊形為“奇妙四邊形”．如圖1，四邊形ABCD中，若AC=BD，AC⊥BD，則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形．根據“奇妙四邊形”對角線互相垂直的特征可得“奇妙四邊形”的一個重要性質：“奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半．根據以上信息回答：

（1）矩形“奇妙四邊形”（填“是”或“不是”）；
（2）如圖2，已知⊙O的內接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”，若⊙O的半徑為6，∠BCD=60°．求“奇妙四邊形”ABCD的面積；
（3）如圖3，已知⊙O的內接四邊形ABCD是“奇妙四邊形”作OM⊥BC于M．請猜測OM與AD的數量關系，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）不是
（2）解：連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，則BH=DH，

∵∠BOD=2∠BCD=2×60°=120°，

∴∠OBD=30°，

在Rt△OBH中，∵∠OBH=30°，

∴OH= OB=3，

∴BH= OH=3 ，

∵BD=2BH=6 ，

∴AC=BD=6 ，

∴“奇妙四邊形”ABCD的面積= ×6 ×6 =54

（3）解：OM= AD．理由如下：

連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，

∵OE⊥AD，

∴AE=DE，

∵∠BOC=2∠BAC，

而∠BOC=2∠BOM，

∴∠BOM=∠BAC，

同理可得∠AOE=∠ABD，

∵BD⊥AC，

∴∠BAC+∠ABD=90°，

∴∠BOM+∠AOE=90°，

∵∠BOM+∠OBM=90°，

∴∠OBM=∠AOE，

在△BOM和△OAE中

，

∴△BOM≌△OAE，

∴OM=AE，

∴OM= AD．

【解析】解：（1）矩形的對角線相等但不垂直，所以矩形不是“奇妙四邊形”；
故答案為不是；
（1）根據矩形的性質和“奇妙四邊形”的定義進行判斷；（2）連結OB、OD，作OH⊥BD于H，如圖2，根據垂徑定理得到BH=DH，根據圓周角定理得到∠BOD=2∠BCD=120°，則利用等腰三角形的性質得∠OBD=30°，在Rt△OBH中可計算出BH= OH=3 ，BD=2BH=6 ，則AC=BD=6 ，然后根據奇妙四邊形”的面積等于兩條對角線乘積的一半求解；（3）連結OB、OC、OA、OD，作OE⊥AD于E，如圖3，根據垂徑定理得到AE=DE，再利用圓周角定理得到∠BOM=∠BAC，∠AOE=∠ABD，再利用等角的余角相等得到∠OBM=∠AOE，則可證明△BOM≌△OAE得到OM=AE，于是有OM= AD．