Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC交⊙O于點D，E是BD弧上的一點，OE⊥BD于點G，連接AE交BC于點F，AC是⊙O的切線．
（1）求證：∠ACB=2∠EAB；
（2）若cos∠ACB= ，AC=10，求BF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AD，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵AC是⊙O的切線，

∴∠CAB=90°，

∴∠C+∠CAD=∠CAD+∠DAB=90°，

∴∠C=∠DAB，

∵OE⊥BD，

∴2 = ，

∴∠BAE= BDA，

∴∠ACB=2∠EAB

（2）解：∵cos∠ACB= ，AC=10，

∴BC=25，

∴AB= =5 ，

∵∠C=∠BAD，∠B=∠B，

∴△ABC∽△DBA，

∴ ，

∴BD= =21，

∵OE⊥BD，

∴BG=DG= ，

∵AD= =2 ，

∵AO=BO，BG=DG，

∴OG= AD= ，

∴GE= ，

∵AD∥GE，

∴ = ，

∴FG= DG= ，

∴BF=BG+FG= + =15．

【解析】（1）連接AD，由AB是⊙O的直徑，得到∠ADB=90°，由AC是⊙O的切線，得到∠CAB=90°，根據余角的性質得到∠C=∠DAB，根據圓周角定理即可得到結論；（2）根據三角函數的定義得到BC=25，根據勾股定理得到AB= =5 ，根據相似三角形的性質得到BD= =21，根據垂徑定理得到BG=DG= ，根據平行線分線段成比例定理得到 = ，于是得到結論．
【考點精析】本題主要考查了垂徑定理和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．