Question

【題目】如圖，A（0，2），B（1，0），點C為線段AB的中點，將線段BA繞點B按順時針方向旋轉90°得到線段BD，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點D．

（1）若該拋物線經過原點O，且a=﹣ ，求該拋物線的解析式；
（2）在（1）的條件下，點P（m，n）在拋物線上，且∠POB銳角，滿足∠POB+∠BCD＜90°，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

解：過點D作DF⊥x軸，垂足為F．

∵∠ABD=90°，

∴∠DBF+∠ABO=90°．

又∵∠OAB+∠ABO=90°，

∴∠DBF=∠OAB．

由旋轉的性質可知AB=BD．

在△AOB和△BFD中 ，

∴△AOB≌△BFD．

∴DF=OB=1，AO=BF=2．

∴D（3，1）．

把點D和點O的坐標代入y=﹣ x2+bx+c得： ，解得：b= ，c=0．

∴拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x

（2）

解：如圖2所示：

∵點A（0，2），B（1，0），C為線段AB的中點，

∴C（ ，1）．

∵C、D兩點的縱坐標為1，

∴CD∥x軸．

∴∠BCD=∠ABD．

∴當∠POB=∠BAO時，恰好∠POB+∠BCD=90°．

設點P的坐標為（m，﹣ m2+ m）．

當點P在x軸上且∠POB=∠BAO時，則tan∠POB=tan∠BAO= ，

即 = ，解得：m= 或m=0（舍去）．

當點P位于x軸的下方，點P′處時，且∠POB=∠BAO時，則tan∠POB=tan∠BAO= ，

即 = ，解得：m= 或m=0（舍去）．

由圖形可知：當點P在拋物線上P與P′之間移動時，∠POB+∠BCD＜90°，

∴m的取值范圍是： ＜m＜

【解析】（1）過點D作DF⊥x軸，垂足為F．先證明△AOB≌△BFD，于是可得到D（3，1），將a=﹣ 以及點D和點O的坐標代入拋物線的解析式求解即可；（2）先證明CD∥x軸，依據題意可知：當∠POB=∠BAO時，恰好∠POB+∠BCD=90°，設點P的坐標為（m，﹣ m2+ m），由∠POB=∠BAO，可得到tan∠POB= ，據此可得到關于m的方程，從而可求得m的值，最后依據圖形可得到當∠POB+∠BCD＜90°時，m的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用二次函數的性質，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小即可以解答此題．