Question

【題目】如圖，BD，CE分別是△ABC的兩邊上的高，過D作DG⊥BC于G，分別交CE及BA的延長線于F，H，求證：

(1)DG2＝BG·CG；

(2)BG·CG＝GF·GH.

Answer 1

【答案】

【1】 證明：∵BD⊥AC，DG⊥BC，

∴

∠DBC+∠DCG=∠GDC+∠DCG，

∴∠GDC=∠DBC，

∴

∴BG:DG=DG:CG，

即

【2】 同(1)中的方法,同理可證：△BGH∽△FGC，

∴BG:GF=GH:CG，

∴BGCG=GFGH.

【解析】

（1）根據題意結合圖形，證明列出比例式，化為等積式即可解決問題．
（2）方法同（1）中的解法，證明△BGH∽△FGC，列出比例式，化為等積式即可解決問題．

證明：(1)∵BD⊥AC，DG⊥BC，

∴

∠DBC+∠DCG=∠GDC+∠DCG，

∴∠GDC=∠DBC，

∴

∴BG:DG=DG:CG，

即

(2)同(1)中的方法,同理可證：△BGH∽△FGC，

∴BG:GF=GH:CG，

∴BGCG=GFGH.