Question

【題目】如圖，直線AD對應的函數關系式為y=﹣x﹣1，與拋物線交于點A（在x軸上）、點D，拋物線與x軸另一交點為B（3，0），拋物線與y軸交點C（0，﹣3），

（1）求拋物線的解析式；

（2）P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；

（3）若點F是拋物線的頂點，點G是直線AD與拋物線對稱軸的交點，在線段AD上是否存在一點P，使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）點H拋物線上的動點，在x軸上是否存在點Q，使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）當x=時，PE有最大值，最大值為；

（3）存在點P（0，﹣1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在點Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．

【解析】

試題分析：（1）先根據直線解析式求出點A的坐標，再利用待定系數法求二次函數解析式計算即可得解；

（2）根據直線解析式表示出點P的坐標，利用拋物線解析式表示出點E的坐標，再用點P的縱坐標減去點E的縱坐標，整理即可得到PE的表達式，再聯立直線解析式與拋物線解析式求出點D的坐標，得到點P的橫坐標的取值范圍，然后根據二次函數的最值問題解答；

（3）把拋物線的解析式轉化為頂點式，然后求出點F的坐標，并利用對稱軸根據點P在直線上求出點G的坐標，然后根據平行四邊形的對邊平行且相等列式解方程即可判斷并求出點P的坐標；

（4）①當點H在x軸下方時，根據平行四邊形的對邊平行且相等，可得點H的縱坐標與點D的縱坐標相等，然后代入拋物線解析式求出點H的橫坐標，再求出HD的長度，然后分點Q在點A的左邊與右邊兩種情況求出點Q的坐標；

②當點H在x軸上方時，AQ只能是平行四邊形的對角線，根據點D的坐標得到點H的縱坐標，然后代入拋物線解析式求出點H的橫坐標，然后根據點H的橫坐標表示的點到點Q的距離等于點D的橫坐標表示的點到點A的距離相等求解即可．

試題解析：（1）令y=0，則﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，所以，點A的坐標為（﹣1，0），

設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，∵B（3，0），C（0，﹣3）在拋物線上，∴，解得，所以，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3；

（2）∵P是線段AD上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，

∴設點P（x，﹣x﹣1），則點E的坐標為（x，x2﹣2x﹣3），

PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3），

=﹣x﹣1﹣x2+2x+3，

=﹣x2+x+2，

=﹣（x﹣）2+，聯立，解得，，

所以，點D的坐標為（2，﹣3），

∵P是線段AD上的一個動點，

∴﹣1＜x＜2，

∴當x=時，PE有最大值，最大值為；

（3）∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴點F的坐標為（1，﹣4），點G的橫坐標為1，

y=﹣1﹣1=﹣2，

∴點G的坐標為（﹣1，﹣2），

∴GF=﹣2﹣（﹣4）=﹣2+4=2，

∵四邊形GFEP為平行四邊形，

∴PE=GF，

∴﹣x2+x+2=2，

解得x1=0，x2=1（舍去），

此時，y=﹣1，

∴點P的坐標為（0，﹣1），

故，存在點P（0，﹣1），使得四邊形GFEP為平行四邊形；

（4）存在．理由如下：

①當點H在x軸下方時，∵點Q在x軸上，

∴HD∥AQ，

∴點H的縱坐標與點D相同，是﹣3，

此時，x2﹣2x﹣3=﹣3，

整理得，x2﹣2x=0，

解得x1=0，x2=2（舍去），

∴HD=2﹣0=2，

∵點A的坐標為（﹣1，0），

﹣1﹣2=﹣3，﹣1+2=1，

∴點Q的坐標為（﹣3，0）或（1，0）；

②當點H在x軸上方時，根據平行四邊形的對稱性，點H到AQ的距離等于點D到AQ的距離，

∵點D的縱坐標為﹣3，∴點H的縱坐標為3，∴x2﹣2x﹣3=3，

整理得，x2﹣2x﹣6=0，

解得x1=1﹣，x2=1+，

∵點A的橫坐標為﹣1，點D的橫坐標為2，

2﹣（﹣1）=2+1=3，

根據平行四邊形的性質，1﹣+3=4﹣，1++3=4+，

∴點Q的坐標為（4﹣，0）或（4+，0），

綜上所述，存在點Q（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0），使A、D、H、Q這四個點為頂點的四邊形是平行四邊形．