Question

【題目】綜合與探究

如圖1，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．

（1）求拋物線的表達式；

（2）點是拋物線上異于點的動點，若的面積與的面積相等，求出點的坐標；

（3）如圖2，當為的中點時，過點作軸，交拋物線于點.連接，將沿軸向左平移個單位長度（），將平移過程中與重疊部分的面積記為，求與的函數關系式．

Answer 1

【答案】（1）；（2），，；（3）．

【解析】

（1）利用待定系數法進行求解即可；

（2）先求出點C的坐標，繼而可得點N的縱坐標為3或-3，分別代入函數解析式進行求解即可 ；

（3）如圖2-2，將沿軸向左平移個單位長度后得到的三角形記作△PQM， PM與BC交于點E，QM與BC交于點F，連接CD，先求出直線BC的解析式，由已知可得，繼而得出，求出點E的坐標，點D的坐標，表示出EP、EM的長，過點作于點，證明，得到，再證明，繼而利用相似三角形的性質以及比例的性質得到，進而得到，表示出，再由進行求解即可．

（1）∵拋物線經過點，，

∴，

∴，

∴拋物線的表達式為；

（2）將代入，得，

∴點的坐標為，

∴，

設點，

∵，

∴，

∴，

當時，，

解得，．

當時，，

解得，（舍去），

∴，，；

（3）如圖2-2，將沿軸向左平移個單位長度后得到的三角形記作△PQM， PM與BC交于點E，QM與BC交于點F，連接CD，

由已知得，，，

設直線的表達式為，

∵直線經過點，，

∴，解得，

∴直線的表達式為，

當時，由已知得，

∴，

當x=2-m時，，

∴，

當時，=-3，

∴點，點M的縱坐標為-3，

∴直線軸，

∵，，

∴，

過點作于點，則，

∵，

∴，

∴，即，

∵CD//OB，

∴，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

設，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴

．