Question

【題目】如圖，已知直線l與⊙O相離．OA⊥l于點A，交⊙O于點P，OA=5，AB與⊙O相切于點B，BP的延長線交直線l于點C．

（1）求證：AB=AC；

（2）若PC=2，求⊙O的半徑及PB的長.．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）⊙O的半徑為3，線段PB的長為．

【解析】

試題分析：（1）連接OB，根據切線的性質和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC，根據等腰三角形的判定推出即可；

（2）延長AP交⊙O于D，連接BD，設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，根據AB=AC推出52-r2=（2）2-（5-r）2，求出r，證△DPB∽△CPA，得出，代入求出即可．

試題解析：（1）如圖1，連接OB．

∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，

∴∠OBA=∠OAC=90°，

∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，

∵OP=OB，

∴∠OBP=∠OPB，

∵∠OPB=∠APC，

∴∠ACP=∠ABC，

∴AB=AC；

（2）如圖2，延長AP交⊙O于D，連接BD，

設圓半徑為r，則OP=OB=r，PA=5-r，

則AB2=OA2-OB2=52-r2，

AC2=PC2-PA2=（2）2-（5-r）2，

∴52-r2=（2）2-（5-r）2，

解得：r=3，

∴AB=AC=4，

∵PD是直徑，

∴∠PBD=90°=∠PAC，

又∵∠DPB=∠CPA，

∴△DPB∽△CPA，

∴，

∴，

解得：PB=．

∴⊙O的半徑為3，線段PB的長為．