Question

【題目】如圖，已知二次函數y=ax2+ 的圖象與y軸交于點A（0，4），與x軸交于點B，C，點C坐標為（8，0），連AB，AC，點N在線段BC上運動（不與點B，C重合）過點N作NM∥AC，交AB于點M．

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；
（2）當以點A，M，N為頂點的三角形與以點A，B，O為頂點的三角形相似時，求點N的坐標；
（3）當△AMN面積等于3時，直接寫出此時點N的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵圖象與y軸交于點A（0，4），

∴m=4．把點C的坐標代入函數解析式，得a=﹣ ．

二次函數解析式為y=﹣ x2+ x+4．

當y=0時，﹣ x2+ x+4=0，解得x=8，x=﹣2．

∴點B的坐標為（﹣2，0）．

∴AB2=BO2+AO2=20，AC2=AO2+OC2=80．

∵BC2=（BO+OC）2=100，

在△ABC中，AB2+AC2=BC2．

∴△ABC是直角三角形

（2）

解：設點N的坐標為（n，0），則BN=n+2，

∵∠AOB=∠NMA=90°，

∴有兩種情況．

①當 = = 時，易得∠BAO=∠ANM=∠BNM．

∴NB=NA，

∴BN2=NA2，

即（n+2）2=n2+42，解得n=3，此時N（3，0），

②當 = =2時，d點N與原點O重合，

∴此時N（0，0）

（3）

解：設點N的坐標為（n，0），﹣2＜n＜8，則BN=n+2，

過M點作MD⊥x軸于點D，

，

∵MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，

∴ = ．

∵MN∥AC， = ，

∴ = ．

∵OA=4，BC=10，BN=n+2，

∴MD= （n+2）．

∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=﹣ （n﹣3）2+5=3，

解得n=3 ，

∴N點坐標為（3+ ，0）（3﹣ ，0）

【解析】（1）根據待定系數法可得函數解析式，根據自變量與函數值的對應關系，可得B點坐標，根據勾股定理及逆定理，可得答案；（2）根據相似三角形的性質，可得 = = ，根據BN與AN的關系，可得n，可得答案；（3）根據相似三角形的判定與性質，等量代換，可得， = ，可得MD，根據面積的和差，可得n的值，可得答案．
【考點精析】掌握二次函數的概念和二次函數的圖象是解答本題的根本，需要知道一般地，自變量x和因變量y之間存在如下關系：一般式：y=ax2+bx+c(a≠0，a、b、c為常數)，則稱y為x的二次函數；二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點．