Question

【題目】如圖，已知BC⊥AC，圓心O在AC上，點M與點C分別是AC與⊙O的交點，點D是MB與⊙O的交點，點P是AD延長線與BC的交點，且ADAO＝AMAP．

（1）連接OP，證明：△ADM∽△APO；

（2）證明：PD是⊙O的切線；

（3）若AD＝12，AM＝MC，求PB和DM的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）PB＝6，DM＝2．

【解析】

（1）根據兩邊對應成比例，且夾角相等的兩三角形相似證明即可．

（2）首先證明△ODP≌△OCP（SAS），可得∠ODP＝∠OCP，則∠ODP＝90°，證出OD⊥PA即可解決問題．

（3）連接CD．由（1）可知：PC＝PD，由AM＝MC，推出AM＝2MO＝2R，在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，可得R2+122＝9R2，推出R＝3，推出OD＝3，MC＝6，由，可得DP的長度，再根據中點及勾股定理求出MB的長度，最后利用相似三角形的性質求出DM即可解決問題．

（1）證明：連接OD、OP、CD．

∵ADAO＝AMAP，

∴，∠A＝∠A，

∴△ADM∽△APO．

（2）證明：∵△ADM∽△APO，

∴∠ADM＝∠APO，

∴MDPO，

∴∠DOP＝∠MDO，∠POC＝∠DMO，

∵OD＝OM，

∴∠DMO＝∠MDO，

∴∠DOP＝∠POC，

∵OP＝OP，OD＝OC，

∴△ODP≌△OCP（SAS），

∴∠ODP＝∠OCP，

∵BC⊥AC，

∴∠ODP＝∠OCP＝90°，

∴OD⊥AP，

∴PD是⊙O的切線．

（3）解：連接OD、OP、CD，設圓的半徑為R，

∵△ODP≌△OCP

∴PC＝PD，

∵AM＝MC，

∴AM＝2MO＝2R，

在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，

∴R2+122＝9R2，

∴R＝3，

∴OD＝3，MC＝6，

∵，

∴，

∴AP＝18，

∴DP＝AP﹣AD＝18﹣12＝6，

∵O是MC的中點，MBPO，

∴，

∴點P是BC的中點，

∴PB＝CP＝DP＝6，

∵MC是⊙O的直徑，

∴∠BDC＝∠CDM＝90°，

在Rt△BCM中，

∵BC＝2DP＝12，MC＝6，

∴BM＝＝＝6，

∵ ，

∴△BCM∽△CDM，

∴，即，

∴DM＝2．