Question

【題目】已知：如圖12①、②、③，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，P是邊BC上的一個動點．

（1）如圖①，若DE⊥AP，垂足為E，求證：△AED∽△PBA

（2）如圖②，在（1）的條件下，將DE沿AP方向平移，使P、E兩點重合，且與邊CD的交點為M，若MC＝3，求BP的長．

（3）如圖③，Q是邊CD上的一個動點，若＝2，且H，N，G分別為AP，PQ，PC的中點，請問：在P、Q兩點分別在BC、CD上運動的過程中，四邊形HPGN的面積是否發生變化？若變化，請說明理由，若不變化，請求出它的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）BP的長為2或6；（3）四邊形HPGN的面積不會發生變化，它的面積是4

【解析】

(1)根據題意知∠DAE=∠APB，利用DE⊥AP，∠B=90°，即可得到△AED∽△PBA；

(2)根據題意可以證得△APB∽△PMC，設BP=x，則PC=8-x，利用相似的性質=，將對應的線段值代入進去，列出方程即可求解；

(3)根據題意設設CQ=k，則BP=2k，過點H作HF⊥BC于F，可證得△PHF∽△PAB，得出HF=AB=2，PF=PB=k，利用三角形中位線性質可得△PNG∽△PQC，得出PG=4-k，NG=4，從而表示出四邊形HPGN的面積即可.

證明：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠B=90°，

∴∠DAE=∠APB．

又∵DE⊥AP，

∴∠DEA=90°，

∴∠DEA=∠B，

∴△AED∽△PBA．

(2)由題意知MP⊥AP，

∴∠APM=90°，

∴∠APB+∠MPC=90°．

又∵∠APB+∠PAB=90°，

∴∠APB=∠PMC．

∵∠B=∠C=90°，

∴△APB∽△PMC，

∴=．

設BP=x，則PC=8-x，

∴=，

解得x=2或6，

∴BP的長為2或6．

（3）因為=2，設CQ=k，則BP=2k．

如圖，過點H作HF⊥BC于F，

又∵AB⊥BC，

∴HF∥AB，

∴△PHF∽△PAB，

∴===，

∴HF=AB=2，PF=PB=k．

∵N、G分別是PQ，PC的中點，

∴NG∥QC，

∴△PNG∽△PQC，

∴===，

∴PG=PC=( BC-BP)=4-k，NG=CQ=k．

∴S四邊形HPGN=S梯形HFGN-S△HFP=(k+2)(4-k+k)-×2k=k+4-k=4．

所以，四邊形HPGN的面積不會發生變化，它的面積是4．