Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點A出發沿AD向點D勻速運動，速度是1cm/s；同時，點Q從點C出發沿CB方向，在射線CB上勻速運動，速度是2cm/s，過點P作PE∥AC交DC于點E，連接PQ、QE，PQ交AC于F．設運動時間為t（s）（0＜t＜8），解答下列問題：
（1）當t為何值時，四邊形PFCE是平行四邊形；
（2）設△PQE的面積為s（cm2），求s與t之間的函數關系式；
（3）是否存在某一時刻t，使得△PQE的面積為矩形ABCD面積的 ；
（4）是否存在某一時刻t，使得點E在線段PQ的垂直平分線上．

Answer 1

【答案】
（1）

解：當PQ∥CD時，四邊形PFCE是平行四邊形，

此時，四邊形PQCD是平行四邊形，

則PD=CQ，即8﹣t=2t，

解得，t= ，

即當t= 時，四邊形PFCE是平行四邊形

（2）

解：∵PE∥AC，

∴△DPE∽△DAC，

∴ = = ，即 = = ，

解得，DE=6﹣ t，PE=10﹣ t，

則CE= t，

∴y=S四邊形PQCD﹣S△PDE﹣S△ECQ

= ×（8﹣t+2t）×6﹣ ×（8﹣t+2t）×（6﹣ t）﹣ ×2t× t

=﹣ t2+9t，

即s與t之間的函數關系式為：y=﹣ t2+9t

（3）

解：矩形ABCD面積為：6×8=48，

由題意得，﹣ t2+9t=48× ，

解得，t=2或6；

（4）

解：當點E在線段PQ的垂直平分線上時，EP=EQ，

由勾股定理得，（2t）2+（ t）2=（8﹣t）2+（6﹣ t）2，

解得，t1= （舍去），t2= ，

答：t= 時，點E在線段PQ的垂直平分線上

【解析】（1）根據平行四邊形的性質列出方程，解方程即可；（2）證明△DPE∽△DAC，根據相似三角形的性質用t表示出DE、CE、PE，根據面積公式計算即可；（3）根據題意列出一元二次方程，解方程即可；（4）根據線段垂直平分線的性質、勾股定理列式計算．