Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B1C1D1各邊中點，得到四邊形A2B2C2D2…，如此進行下去，得到四邊形AnBnnDn．下列結論正確的有（　　）

①四邊形A2B2C2D2是矩形；

②四邊形A4B4C4D4是菱形；

③四邊形A5B5C5D5的周長是

④四邊形AnBnnDn的面積是．

A.①②B.②③C.②③④D.①②③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

①由兩組對邊平行，證明出A1B1C1D1是平行四邊形，再根據四邊都相等，證明出是菱形.

②由①知四邊形A2B2C2D2是菱形，根據中位線定理，四邊形A4B4C4D4是菱形.

③根據中位線性質得到每邊長的關系，從而計算出周長.

④三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半.

①連接A1C1，B1D1．

∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點，得到四邊形A1B1C1D1，

∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；

∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，

∴四邊形A1B1C1D1是平行四邊形；

∵AC丄BD，∴四邊形A1B1C1D1是矩形，

∴B1D1＝A1C1（矩形的兩條對角線相等）；

∴A2D2＝C2D2＝C2B2＝B2A2（中位線定理），

∴四邊形A2B2C2D2是菱形；

故①錯誤；

②由①知，四邊形A2B2C2D2是菱形；

∴根據中位線定理知，四邊形A4B4C4D4是菱形；

故②正確；

③根據中位線的性質易知，A5B5＝A3B3＝×A1B1＝××AC，B5C5＝B3C3＝×B1C1＝××BD

∴四邊形A5B5C5D5的周長是2×（a+b）＝；

故③正確；

④∵四邊形ABCD中，AC＝a，BD＝b，且AC丄BD，

∴S四邊形ABCD＝ab÷2；

由三角形的中位線的性質可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變為原來的一半，

四邊形AnBnnDn的面積是；

故④正確；

綜上所述，②③④正確．

故選：C．