Question

【題目】對于任意一個自然數N，將其各個數位上的數字相加得到一個數，我們把這一過程稱為一次操作，把這個得到的數進行同樣的操作，不斷進行下去，最終會得到一個一位數K，我們把K稱為N的“終極數”，并記f（N）＝K．例如，456→4+5+6＝15→1+5＝6，∴f（456）＝6．

（1）計算：f（2019）＝　 　．f（20192020）＝　 　．

（2）有一個三位自然數M＝，已知f（M）＝4，且x＜y＜z，請求出所有滿足條件的自然數M．

Answer 1

【答案】（1）3，7；（2）有滿足條件的M為139，148，157，238，247，256，346，589，678．

【解析】

（1）由題意直接可求；

（2）由已知條件得到4＝0+4＝1+3＝2+2，即z+y+z的值為4或13或22，再結合x＜y＜z，即可求解．

解：（1）由題意可知，2019→2+0+1+9＝12→1+2＝3，

∴f（2019）＝3；

20192020→2+0+1+9+2+0+2+0＝16→1+6＝7，

∴f（20192020）＝7；

故答案為3，7；

（2）∵三位自然數M＝，f（M）＝4，

∵4＝0+4＝1+3＝2+2，

當4＝0+4時，x+y+z＝4，或x+y+z＝40（舍），

∵x＜y＜z，

∴x＝0，y＝1，z＝3，此時不符題意；

當4＝1+3時，x+y+z＝13或x+y+z＝31（舍），

∵x＜y＜z，

∴滿足條件的M為139，148，157，238，247，256，346，

當4＝2+2時，x+y+z＝22，

∵x＜y＜z，

∴滿足條件的M為589，678，

綜上所述，所有滿足條件的M為139，148，157，238，247，256，346，589，678．