Question

如圖，AB是⊙O的弦，AB=4，過圓心O的直線垂直AB于點D，交⊙O于點C和點E，連接AC、BC、OB，cos∠ACB=，延長OE到點F，使EF=2OE．
（1）求⊙O的半徑；
（2）求證：BF是⊙O的切線．

Answer 1

（1）（2）證明見解析

解：（1）如圖，連接OA，

∵直徑CE⊥AB，∴AD=BD=2， 。
∴∠ACE=∠BCE，∠AOE=∠BOE，
又∵∠AOB=2∠ACB，∴∠BOE=∠ACB。
又∵cos∠ACB=，∴cos∠BOD=，
在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，
∵OD²+BD²=OB²，∴x²+2²=（3x）²，解得x=。
∴OB=3x=，即⊙O的半徑為。
（2）證明：∵FE=2OE，∴OF=3OE=。∴。
又∵，∴。
又∵∠BOF=∠DOB，∴△OBF∽△ODB。∴∠OBF=∠ODB=90°。
∵OB是半徑，∴BF是⊙O的切線。
（1）連接OA，由直徑CE⊥AB，根據垂徑定理得AD=BD=2，，由已知利用圓周角定理可得到∠BOE=∠ACB，可得到cos∠BOD=cos∠ACB=，在Rt△BOD中，設OD=x，則OB=3x，利用勾股定理可計算出x=，則OB=3x=。
（2）由于FE=2OE，則OF=3OE=，則，而，于是得到，根據相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB，根據相似三角形的性質有∠OBF=∠ODB=90°，然后根據切線的判定定理即可得到結論。