Question

如圖，△ABC中，以BC為直徑的圓交AB于點D，∠ACD=∠ABC．

（1）求證：CA是圓的切線；       
（2）若點E是BC上一點，已知BE=6，tan∠ABC=，tan∠AEC=，求圓的直徑．

Answer 1

解： （1）∵BC是直徑，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠ABC，∴∠ACD+∠DCB=90°，∴BC⊥CA，∴CA是圓的切線．
（2）在Rt△AEC中，tan∠AEC=，∴,;
在Rt△ABC中，tan∠ABC=，∴,;
∵BC-EC=BE，BE=6，∴,解得AC=,
∴BC=．即圓的直徑為10.

（1）根據圓周角定理BC得到∠BDC=90°，推出∠ACD+∠DCB=90°，即BC⊥CA，即可判斷CA是圓的切線；
（2）根據銳角三角函數的定義得到，，代入BC-EC=BE即可求出AC，進一步求出BC即可。