Question

如圖，已知⊙O的半徑為2，弦BC的長為，點A為弦BC所對優弧上任意一點（B，C兩點除外）.

（1）求∠BAC的度數；

（2）求△ABC面積的最大值.

（參考數據： ，，.）

 

 

 

 

 

 

Answer 1

解：(1) 解法一

連接OB，OC，過O作OE⊥BC于點E.

          ∵OE⊥BC，BC=，

∴.   ………………1分

          在Rt△OBE中，OB=2，∵，

          ∴,  ∴，

          ∴.      ………………4分

解法二

連接BO并延長，交⊙O于點D，連接CD.

       ∵BD是直徑，∴BD=4，.

       在Rt△DBC中，,

          ∴，∴.………………4分

 

(2) 解法一

因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處.       ………………5分

過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC，.

       在Rt△ABE中，∵，

      ∴，

          ∴S_△ABC=.

          答：△ABC面積的最大值是.         ………………7分

          解法二

因為△ABC的邊BC的長不變，所以當BC邊上的高最大時，△ABC的面積最大，此時點A落在優弧BC的中點處.    ………………5分

過O作OE⊥BC于E，延長EO交⊙O于點A，則A為優弧BC的中點.連接AB，AC，則AB=AC.

∵,    ∴△ABC是等邊三角形.       

在Rt△ABE中，∵，

∴，

           ∴S_△ABC=.               

答：△ABC面積的最大值是.       ………………7分

 

解析:略