Question

（2013•新疆）如圖，已知⊙O的半徑為4，CD是⊙O的直徑，AC為⊙O的弦，B為CD延長線上的一點，∠ABC=30°，且AB=AC．
（1）求證：AB為⊙O的切線；
（2）求弦AC的長；
（3）求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖，連接OA，欲證明AAB為⊙O的切線，只需證明AB⊥OA即可；
（2）如圖，連接AD，構建直角△ADC，利用“30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AD=4，然后利用勾股定理來求弦AC的長度；
（3）根據(jù)圖示知，圖中陰影部分的面積=扇形ADO的面積+△AOC的面積．

解答：（1）證明：如圖，連接OA．
∵AB=AC，∠ABC=30°，
∴∠ABC=∠ACB=30°．
∴∠AOB=2∠ACB=60°，
∴在△ABO中，∠BAO=180°-∠ABO-∠AOB=90°，即AB⊥OA，
又∵OA是⊙O的半徑，
∴AB為⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接AD．
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°．
∵由（1）知，∠ACB=30°，
∴AD=

1

2

CD=4，
則根據(jù)勾股定理知AC=

CD2-AD2

=4

3

，即弦AC的長是4

3

；

（3）解：由（2）知，在△ADC中，∠DAC=90°，AD=4，AC=4

3

，則S_△ADC=

1

2

AD•AC=

1

2

×4×4

3

=8

3

．
∵點O是△ADC斜邊上的中點，
∴S_△AOC=

1

2

S_△ADC=4

3

．
根據(jù)圖示知，S_陰影=S_扇形ADO+S_△AOC=

60π×42

360

+4

3

=

8π

3

+4

3

，即圖中陰影部分的面積是

8π

3

+4

3

．

點評：本題考查了切線的判定，圓周角定理以及扇形面積的計算．解答（3）時，求△AOC的面積的面積的技巧性在于利用了“等邊同高”三角形的面積相等的性質．