Question

【題目】已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點M和點N，點F從點M出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連接PF，過點P作PE⊥PF交y軸于點E，設點F運動的時間是t秒（t＞0）

（1）若點E在y軸的負半軸上（如圖所示），求證：PE=PF；

（2）在點F運動過程中，設OE=a，OF=b，試用含a的代數式表示b；

（3）作點F關于點M的對稱點F′，經過M、E和F′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連接QE．在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q、O、E為頂點的三角形與以點P、M、F為頂點的三角形相似？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)、證明過程見解析；(2)、b=2+a或b=2－a；(3)、t=，t=，t=2±

【解析】試題分析：(1)、連接PM、PN，根據切線的性質得出PM=PN，根據就NPM=∠EPF=90°得出∠NPE=∠MPF，從而說明△PMF和△PNE全等，從而說明PE=PF；(2)、根據t＞1和1＜t≤1兩種情況求出a和b的關系；(3)、根據相似三角形的幾種不同的情況求出t的值.

試題解析：(1)、如圖，連接PM，PN，

∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，

∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，

在△PMF和△PNE中，∠NPE=∠MPF PN=PM ∠PNE=∠PMF ，∴△PMF≌△PNE（ASA） ∴PE=PF，

(2)、解：①當t＞1時，點E在y軸的負半軸上，

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1，

∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，

②0＜t≤1時，如圖2，點E在y軸的正半軸或原點上，

同理可證△PMF≌△PNE， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2－a，

(3)、t=，t=，t=2±