Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點E是線段AD邊上的任意一點（不含端點A、D），連接BE、CE．

若a=5，sin∠ACB= ，解答下列問題：
（1）填空：b=；
（2）當BE⊥AC時，求出此時AE的長；
（3）設AE=x，試探索點E在線段AD上運動過程中，使得△ABE與△BCE相似時，請寫x、a、b三者的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）12
（2）

解：∵BE⊥AC，

∴∠EBC+∠ACB=90°

又∵∠ABE+∠EBC=90°，

∴∠ABE=∠ACB，

又∵∠BAE=∠ABC=90°，

∴△AEB∽△BAC，

∴ = ，

即 = ，

∴AE=

（3）

解：∵點E在線段AD上的任一點，且不與A、D重合，

∴當△ABE與△BCE相似時，則∠BEC=90°，

①當△ABE∽△EBC時，∠ABE=∠EBC=45°，

∴△EBC是等腰直角三角形，

BC= BE，BE= AB，

∴BC=2AB，即b=2a，x=a或x= b．

②當△BAE∽△CEB

∴∠ABE=∠BCE，

又∵BC∥AD，

∴∠DEC=∠BCE，

∴∠ABE=∠DEC，

又∵∠BAE=∠EDC=90°，

∴△BAE∽△EDC，

∴ = ，

即 = ，

∴x2﹣bx+a2=0，

即（x﹣ ）2= ，

當b2﹣4a2≥0，

∵a＞0，b＞0，

∴b≥2a，

即b≥2a時，x= ．

綜上所述：當a、b滿足條件b=2a時△BAE∽△CEB，此時x= b（或x=a）；當a、b滿足條件b＞2a時△BAE∽△CEB，此時x= ．

【解析】解：（1）∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB= ，
∴ = ，
∴AC=13，
∴BC= =12，
∴b=12；
所以答案是：12；
【考點精析】利用相似三角形的性質和相似三角形的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形；相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．