Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AC=2 ，點B為半圓的中點，點D在弦AB上，連結CD，作BF⊥CD于點E，交AC于點F，連結DF，當△BCE和△DEF相似時，BD的長為 ．

Answer 1

【答案】2 ﹣2或 ﹣1
【解析】解：①如圖1，

當∠DFE=∠BCE時，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△BEC，
∵AC是直徑，
∴∠ABC=90°，
∵BF⊥CD，
∴∠CEB=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠DFE，
∴DB=DF，
∵DE⊥BF，
∴EB=EF，
∴BC=CF，
∵點B為半圓的中點，
∴AB=BC，
∴∠A=45°，
∵∠DBF=∠DFB，∠CBF=∠CFB，∠DBF+∠CBF=90°，
∴∠DFB+∠CFB=90°，
∴∠DFC=∠DFA=90°，
∴∠A=∠ADF=45°，
∴AF=DF=BD，
在RT 中，∵AC=2 ，
∴AB=BC= AC=2，
∴FC=2，
∴BD=AF=AC﹣FC=2 ﹣2，
②如圖2，

當∠FDE=∠BCE時，
∵∠DEF=∠BEC，
∴△DEF∽△CEB，DF∥BC，
∴∠ADF=∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠BEC=90°，
∴∠BCE+∠CBE=90°，∠DBE+∠EBC=90°，
∴∠DBE=∠BCE=∠FDE，
∵∠BDF=∠DBC=90°，∠DBF=∠BCD，
∴△BDF∽△CBD，
∴ ，
∵∠A=45°，∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠A=45°，
∴AD=DF，
設BD=x，由（1）可知：AB=BC=2，AD=DF=2﹣x，
∴ ，整理得：x2+2x﹣4=0，
解得：x=﹣1+ （或﹣1﹣ 舍棄）
∴BD= ﹣1．
所以答案是2 ﹣2或 ﹣1．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對相似三角形的判定的理解，了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似； 兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對應成比例，兩三角形相似（SSS）．