Question

【題目】在矩形ABCD中，將點A翻折到對角線BD上的點M處，折痕BE交AD于點E．將點C翻折到對角線BD上的點N處，折痕DF交BC于點F．
（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB=2，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

由折疊的性質可得：∠ABE=∠EBD= ∠ABD，∠CDF= ∠CDB，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中

，

∴△ABE≌△CDF（ASA），

∴AE=CF，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴DE=BF，DE∥BF，

∴四邊形BFDE為平行四邊形；

解法二：證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠EBD=∠FDB，

∴EB∥DF，

∵ED∥BF，

∴四邊形BFDE為平行四邊形

（2）解：∵四邊形BFDE為菱形，

∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，∠ABC=90°，

∴∠ABE=30°，

∵∠A=90°，AB=2，

∴AE= = ，BE=2AE= ，

∴BC=AD=AE+ED=AE+BE= + =2 ．

【解析】（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據平行四邊形判定推出即可．（2）求出∠ABE=30°，根據直角三角形性質求出AE、BE，即可求出答案．
【考點精析】本題主要考查了含30度角的直角三角形和平行四邊形的判定的相關知識點，需要掌握在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能正確解答此題．