Question

【題目】將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合．以AB為直徑的圓經過點C，且與AD交于點 E，分別連接EB，EC．
（1）求證：EC平分∠AEB；
（2）求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，

∴∠BAC=∠ABC=45°，

∵∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，

∴∠AEC=∠BEC，

即EC平分∠AEB

（2）解：如圖，設AB與CE交于點M．

∵EC平分∠AEB，

∴ = ．

在Rt△ABD中，∠ABD=90°，∠D=60°，

∴∠BAD=30°，

∵以AB為直徑的圓經過點E，

∴∠AEB=90°，

∴tan∠BAE= = ，

∴AE= BE，

∴ = = ．

作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．

在△AFM與△BGM中，

∵∠AFM=∠BGM=90°，∠AMF=∠BMG，

∴△AFM∽△BGM，

∴ = = ，

∴ = = = ．

【解析】（1）由Rt△ACB中∠ABC=45°，得出∠BAC=∠ABC=45°，根據圓周角定理得出∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換得出∠AEC=∠BEC，即EC平分∠AEB；（2）設AB與CE交于點M．根據角平分線的性質得出 = ．易求∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角是直角得出∠AEB=90°，解直角△ABE得到AE= BE，那么 = = ．作AF⊥CE于F，BG⊥CE于G．證明△AFM∽△BGM，根據相似三角形對應邊成比例得出 = = ，進而求出 = = = ．
【考點精析】本題主要考查了圓周角定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．