Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，點 E、F分別是AB、CD的中點，過點A作AG∥BD，交CB的延長線于點G．
（1）求證：四邊形DEBF是菱形；
（2）請判斷四邊形AGBD是什么特殊四邊形？并加以證明．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC

E，F分別為AB，CD的中點，

∴BE= AB，DF= CD，

∴BE=DF，

∴四邊形DEBF是平行四邊形

在△ABD中，E是AB的中點，

∴AE=BE= AB=AD，

而∠DAB=60°

∴△AED是等邊三角形，即DE=AE=AD，

故DE=BE

∴平行四邊形DEBF是菱形

（2）解：四邊形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB

∴四邊形AGBD是平行四邊形

由（1）的證明知AD=DE=AE=BE，

∴∠ADE=∠DEA=60°，

∠EDB=∠DBE=30°

故∠ADB=90°

∴平行四邊形AGBD是矩形．

【解析】（1）利用平行四邊形的性質證得△AED是等邊三角形，從而證得DE=BE，問題得證；（2）利用平行四邊形的性質證得∠ADB=90°，利用有一個角是直角的平行四邊形是矩形判定矩形．
【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理和平行四邊形的性質的相關知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分才能正確解答此題．