Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知拋物線與軸交于點和點（點在點的左側），與軸交于點，對稱軸是直線．

（1）求拋物線的表達式；

（2）直線平行于軸，與拋物線交于、兩點（點在點的左側），且，點關于直線的對稱點為，求線段的長；

（3）點是該拋物線上一點，且在第一象限內，聯結、，交線段于點，當時，求點的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）；（3）（，）或（，)．

【解析】

（1）根據拋物線與軸交于點可得出c的值，然后由對稱軸是直線可得出b的值，從而可求出拋物線的解析式；
（2）令y=0得出關于x的一元二次方程，求出x，可得出點A、B的坐標，從而得到AB的長，再求出MN的長，根據拋物線的對稱性求出點M的橫坐標，再代入拋物線解析式求出點M的縱坐標，再根據點的對稱可求出OE的長；
（3）過點E作x軸的平行線EH，分別過點F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，先證明△EGF∽△EQP，可得，設點F的坐標為（a，-a+3），則EG=a，FG=-a+3-=-a+，可用含a的式子表示P點的坐標，根據P在拋物線的圖象上，可得關于a的方程，把a的值代入P點坐標，可得答案．

解：（1）將點C（0，3）代入得c=3，

又拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴-=1，解得b=2，

∴拋物線的表達式為y=-x2+2x+3；

（2）如圖，

令y=0，則-x2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3，
∴點A（-1，0），B（3，0），∴AB=3-（-1）=4，
∵，∴MN=×4=3，
根據二次函數的對稱性，點M的橫坐標為，

代入二次函數表達式得，y=，

∴點M的坐標為，

又點C的坐標為（0，3），點C與點E關于直線MN對稱，

∴CE=2×（3-）=，

∴OE=OC-CE=；

（3）如圖，過點E作x軸的平行線EH，分別過點F，P作EH的垂線，垂足分別為G，Q，則FG∥PQ，

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

則，解得，

∴直線BC的解析式為y=-x+3，

設點F的坐標為（a，-a+3），則EG=a，FG=-a+3-=-a+．

∵FG∥PQ，∴△EGF∽△EQP，

∴．

∵，∴FP:EF=1:2，∴EF:EP=2:3．

∴，

∴EQ=EG=a，PQ=FG=（-a+）=-a+，

∴xP=a，yP=-a++=-a+，即點P的坐標為（a，-a+），

又點P在拋物線y=-x2+2x+3上，

∴-a+=-a2+3a+3，化簡得9a2-18a+5=0，

解得a=或a=，符合題意，

∴點P的坐標為（，）或（，)．