Question

【題目】如圖，已知拋物線經過原點o和x軸上一點A（4，0），拋物線頂點為E，它的對稱軸與x軸交于點D．直線y=﹣2x﹣1經過拋物線上一點B（﹣2，m）且與y軸交于點C，與拋物線的對稱軸交于點F．

（1）求m的值及該拋物線對應的解析式；

（2）P（x，y）是拋物線上的一點，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合條件的點P的坐標；

（3）點Q是平面內任意一點，點M從點F出發，沿對稱軸向上以每秒1個單位長度的速度勻速運動，設點M的運動時間為t秒，是否能使以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形．若能，請直接寫出點M的運動時間t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3，；（2）P1（，1），P2（，1），P3（2，﹣1）；（3）t1=，t2=6，t3=，t4=6.5．

【解析】

試題分析：（1）首先求出點B的坐標和m的值，然后利用待定系數法求出拋物線的解析式；

（2）△ADP與△ADC有共同的底邊AD，因為面積相等，所以AD邊上的高相等，即為1；從而得到點P的縱坐標為1，再利用拋物線的解析式求出點P的縱坐標；

（3）如解答圖所示，在點M的運動過程中，依次出現四個菱形，注意不要漏解．針對每一個菱形，分別進行計算，求出線段MF的長度，從而得到運動時間t的值．

試題解析：（1）∵點B（﹣2，m）在直線y=﹣2x﹣1上，∴m=﹣2×（﹣2）﹣1=4﹣1=3，所以，點B（﹣2，3），又∵拋物線經過原點O，∴設拋物線的解析式為y=ax2+bx，∵點B（﹣2，3），A（4，0）在拋物線上，∴，解得：，∴拋物線的解析式為．

（2）∵P（x，y）是拋物線上的一點，∴P（x，），若S△ADP=S△ADC，∵S△ADC=ADOC，S△ADP=AD|y|，又∵點C是直線y=﹣2x﹣1與y軸交點，∴C（0，﹣1），∴OC=1，∴||=1，即=1或=﹣1，解得：x1=，x2=，x3=x4=2，∴點P的坐標為 P1（，1），P2（，1），P3（2，﹣1）；

（3）結論：存在．如圖2

∵拋物線的解析式為，∴頂點E（2，﹣1），對稱軸為x=2；

點F是直線y=﹣2x﹣1與對稱軸x=2的交點，∴F（2，﹣5），DF=5．

又∵A（4，0），∴AE=．

如右圖所示，在點M的運動過程中，依次出現四個菱形：

①菱形AEM/span>1Q1．

∵此時EM1=AE=，∴M1F=DF﹣DE﹣DM1=，∴t1=；

②菱形AEOM2．

∵此時DM2=DE=1，∴M2F=DF+DM2=6，∴t2=6；

③菱形AEM3Q3．

∵此時EM3=AE=，∴DM3=EM3﹣DE=﹣1，∴M3F=DM3+DF=（﹣1）+5=，∴t3=；

④菱形AM4EQ4．

此時AE為菱形的對角線，設對角線AE與M4Q4交于點H，則AE⊥M4Q4，∵易知△AED∽△M4EH，∴，即，得M4E=2.5，∴DM4=M4E﹣DE=2.5﹣1=1.5，∴M4F=DM4+DF=1.5+5=6.5，∴t4=6.5．

綜上所述，存在點M、點Q，使得以Q、A、E、M四點為頂點的四邊形是菱形；時間t的值為：t1=，t2=6，t3=，t4=6.5．