Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，過⊙C上一點P作⊙C的切線l．當入射光線照射在點P處時，產生反射，且滿足：反射光線與切線l的夾角和入射光線與切線l的夾角相等，點P稱為反射點．規定：光線不能“穿過”⊙C，即當入射光線在⊙C外時，只在圓外進行反射；當入射光線在⊙C內時，只在圓內進行反射．特別地，圓的切線不能作為入射光線和反射光線．光線在⊙C外反射的示意圖如圖1所示，其中∠1=∠2．

（1）自⊙C內一點出發的入射光線經⊙C第一次反射后的示意圖如圖2所示，P1是第1個反射點．請在圖2中作出光線經⊙C第二次反射后的反射光線和反射點P3；

（2）當⊙O的半徑為1時，如圖3：

①第一象限內的一條入射光線平行于y軸，且自⊙O的外部照射在圓上點P處，此光線經⊙O反射后，反射光線與x軸平行，則反射光線與切線l的夾角為___________°；

②自點M（0，1）出發的入射光線，在⊙O內順時針方向不斷地反射．若第1個反射點是P1，第二個反射點是P2，以此類推，第8個反射點是P8恰好與點M重合，則第1個反射點P1的坐標為___________；

（3）如圖4，點M的坐標為（0，2），⊙M的半徑為1．第一象限內自點O出發的入射光線經⊙M反射后，反射光線與坐標軸無公共點，求反射點P的縱坐標的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）①45°；②（， ）或（， ）；（3）．

【解析】試題分析：（1）（2）兩個問題，要根據題意，畫出圖象，可以解決．

（3）當反射光線平行x軸時，反射光線與坐標軸沒有交點，只要求出這樣的反射點，就可以解決這個問題了．

試題解析：（1）如圖：

（2）①由題意：∠1=∠2，∠APB=90°，

∴∠1=45°，

∴反射光與切線的夾角為45°．

②由題意：這些反射點組成的多邊形是正十二邊形或正六邊形，

當是正十二邊形時，入射光線與反射光線夾角為150°，

∴∠AOP1=30°，

∵OP1=1，

∴P1（-， ）．

當是正六邊形時，易知P1（-， ），

綜上所述滿足條件的點P坐標為（-， ）或（-， ）．

（3）如圖：當反射光PA∥X軸時，反射光線與坐標軸沒有交點，作PD⊥OC，PN⊥OM垂足分別為M，N，設OP=OC=a，PC=b，

則有，

解得b=（負根已經舍棄）

∵，

∴PD=，

當OP與⊙M相切時，可得點P的縱坐標為，

∴滿足條件的反射點P的縱坐標y： ≤y＜．