Question

【題目】定義正整數m，n的運算：m△n=++++…+

（1）計算3△2的值為 ；運算“△”滿足交換規律嗎？回答： （填“是”或“否”）

（2）探究：計算2△10=++++…+的值．

為解決上面的問題，我們運用數形結合的思想方法，通過不斷地分割一個面積為1的正方形，把數量關系的幾何圖形結合起來，最終解決問題．

如圖所示，第一次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；

第2此分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，…；依此類推，…

第10次分割，把二次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為﹣++…+，最后空白部分的面積是；根據第10次分割圖可以得出計算結果：++++…+=1﹣．

進一步分析可得出，++++…+=

（3）已知n是正整數，計算4△n=+﹣+﹣…+的結果．

按指定方法解決問題：請仿照以上做法，只需畫出第n次分割圖并作標注，寫出最終結果的推理步驟；或借用以上結論進行推理，寫出必要的步驟．

Answer 1

【答案】（1）；否；（2）1﹣；（3）﹣．

【解析】

試題分析：（1）根據新定義運算法則進行計算即可；

（2）根據計算2△10=++++…+的值的計算過程得到規律解題；

（3）根據探究的分割方法依次進行分割，然后表示出陰影部分的面積，再除以3即可．

解：（1）3△2=+=．

而2△3=++=，

則3△2≠2△3，

所以運算“△”不滿足交換規律．

故答案是：；否；

（2）如圖所示，第一次分割，把正方形的面積二等分，其中陰影部分的面積為；

第2此分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續二等分，…；依此類推，…

第10次分割，把二次分割圖中空白部分的面積最后二等分，所有陰影部分的面積之和為﹣++…+，最后空白部分的面積是；

根據第10次分割圖可以得出計算結果：++++…+=1﹣．

進一步分析可得出，++++…+=1﹣．

故答案是：1﹣．

（3）第1次分割，把正方形的面積四等分，

其中陰影部分的面積為；

第2次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，

陰影部分的面積之和為；

第3次分割，把上次分割圖中空白部分的面積繼續四等分，

…，

第n次分割，把上次分割圖中空白部分的面積最后四等分，

所有陰影部分的面積之和為：+++…+，

最后的空白部分的面積是，

根據第n次分割圖可得等式：+++…+=1﹣，

兩邊同除以3，得+++…+=﹣．