Question

已知：如圖，直線y₁=mx-3m與x軸交于點A，直線y₂=kx+b與y軸交于點C，兩直線交于點B．
（1）點A的坐標為______；
（2）若∠BCO與∠BAO互為補角，則兩直線的位置關系為______．
（3）在上述條件下，若AB=BC，△BCO的面積為7，求過點B的反比例函數的解析式．
（4）在上述條件下，若Q為x軸上的一點，且以A、B、C、Q四點為頂點的四邊形為梯形，求點Q的坐標．

Answer 1

解：（1）令y₁=0，則x=3，
∴A點坐標是（3，0）；

（2）∵∠BCO與∠BAO互為補，
∴∠BCO+∠BAO=180°，
∵四邊形ABCO的內角和等于360°，∠O=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC；

（3）設B點坐標是（c，d），過B分別向x、y軸做垂線段，交點分別F、E，
∵∠BCO與∠BAO互為補角，
∴∠BCO+∠BAO=180°，
∵∠BAO+∠BAF=180°，
∴∠BCE=∠BAF，
在△BCE和△BAF中，
∵，
∴△BCE≌△BAF，
∴BF=BE，CE=AF，
∴c=d，b-c=c-3，
∵S_△BCO=7，
∴cb=7，b=2c-3，
解得或（不合題意，舍去）
故B點坐標是（，），
那么過B點的反比例函數的解析式是y=（x＞0）；

（4）如右圖，過點C作CQ∥AB，交x軸于點Q，
∵直線y₁=mx-3m過B點，
∴y₁=7x-21，
∵CQ∥AB，
∴過C、Q的直線可設為y=7x+f，
∵C點坐標是（0，4），
∴過C、Q的直線是y=7x+4，
令y=0，則x=-，
∴Q點的坐標是（-，0）．
過點B作BQ′∥AC，交x軸于Q′，
∵直線AC過A、C，
∴直線AC的解析式是y=-x+4，
∵BQ′∥AC，
∴直線BQ′的解析式可設為y=-x+b，
把（，）代入y=-x+b中，得
b=，
故直線BQ′的解析式是y=-x+，
令y=0，則x=，
故Q′的坐標是（，0）．
∴所求Q的坐標是（-，0）或（，0）．
分析：（1）令y₁=0，易求x=3，從而可得點A的坐標；
（2）由于∠BCO與∠BAO互為補角，四邊形ABCO的內角和等于360°，∠O=90°，易求∠ABC=90°，故位置關系為垂直；
（3）先設B點坐標是（c，d），過B分別向x、y軸做垂線段，交點分別F、E，∠BCO與∠BAO互為補角，易得∠BCE=∠BAF，利用AAS可證△BCE≌△BAF，那么BF=BE，CE=AF，于是c=d，b-c=c-3①，再結合S_△BCO=7=bc②，①②可得關于b、c的方程組，解可求b、c的值，進而可求B點坐標，易求過B點的反比例函數解析式；
（4）B點坐標已求，進而可求y₁的函數解析式，由（3）也可知道C點的坐標，過點C作CQ∥AB，交x軸于點Q，過C、Q的直線平行于直線AB，且與y軸交于點C，從而易求過C、Q的直線的解析式，令y=0，可求x=-，這就是Q點的坐標．
點評：本題是一次函數綜合題，解題的關鍵是利用AAS證明△BCE≌△BAF，求出點B的坐標．