Question

已知：如圖，一次函數y₁=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數y2=

m

x

 (m≠0)的圖象交于二、四象限內的A、B兩點，過A作AC⊥x軸于點C，連接OA、OB、BC．已知OC=4，tan∠OAC=2，點B的縱坐標為-6．
（1）求反比例函數和直線AB的解析式；
（2）求四邊形OACB的面積．

Answer 1

分析：（1）由AC垂直于x軸，得到三角形ACO為直角三角形，由OC及tan∠OAC的值，利用銳角三角函數定義求出AC的長，確定出A的坐標，將A的坐標代入反比例函數解析式中確定出m的值，進而求出反比例解析式，將y=-6代入反比例解析式中求出x的值，確定出B的坐標，將A和B的坐標代入一次函數解析式中得到關于k與b的方程組，求出方程組的解得到k與b的值，確定出一次函數解析式；
（2）四邊形OABC的面積=三角形AOC的面積+三角形BOC的面積，而兩三角形都為OC為底邊，其高分別為A和B的縱坐標，利用三角形的面積公式求出即可．

解答：解：（1）∵AC⊥x軸，tan∠OAC=2，OC=4，
∴在Rt△ACO中，tan∠OAC=

OC

AC

=

4

AC

=2，
∴AC=2，
∴A（-4，2），
又反比例函數y₂=

m

x

過A（-4，2），
∴m=-4×2=-8，
∴y₂=-

8

x

，
∴當y=-6時，x=

4

3

，
∴B（

4

3

，-6），
將A和B坐標代入y₁=kx+b中，得：

-4k+b=2 4 3 k+b=-6

，
解得：

k=- 3 2 b=-4

，
∴y₁=-

3

2

x-4；
（2）S_{四邊形OABC}=S_△AOC+S_△BOC=

1

2

•OC•|y_A|+

1

2

•OC•|y_B|=

1

2

×2×4+

1

2

×4×6=16．

點評：此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，利用了待定系數法，待定系數法是數學中重要的思想方法，學生注意靈活運用．