Question

【題目】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為的一個定點，AC⊥x軸于點M，交直線y=－x于點N．若點P是線段ON上的一個動點，∠APB=30°，BA⊥PA，則點P在線段ON上運動時，A點不變，B點隨之運動．求當點P從點O運動到點N時，點B運動的路徑長是　 　．

Answer 1

【答案】．

【解析】

（1）首先，需要證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡），如答圖②所示．利用相似三角形可以證明；
（2）其次，如答圖①所示，利用相似三角形△AB0Bn∽△AON，求出線段B0Bn的長度，即點B運動的路徑長．

由題意可知，OM=，點N在直線y=－x上，AC⊥x軸于點M，則△OMN為等腰直角三角形，

∴ ON=．

如答圖①所示，

設動點P在O點（起點）時，點B的位置為B0，動點P在N點（起點）時，點B的位置為Bn，連接B0Bn．

∵AO⊥AB0，AN⊥ABn，

∴∠OAC=∠B0ABn．

又∵AB0=AOtan30°，ABn=ANtan30°，

∴AB0：AO=ABn：AN=tan30°．

∴△AB0Bn∽△AON，且相似比為tan30°．

∴B0Bn=ONtan30°=．

現在來證明線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）：

如答圖②所示，

當點P運動至ON上的任一點時，設其對應的點B為Bi，連接AP，ABi，B0Bi．

∵AO⊥AB0，AP⊥ABi，

∴∠OAP=∠B0ABi．

又∵AB0=AOtan30°，ABi=APtan30°，

∴AB0：AO=ABi：AP．

∴△AB0Bi∽△AOP，

∴∠AB0Bi=∠AOP．

又∵△AB0Bn∽△AON，

∴∠AB0Bn=∠AOP．

∴∠AB0Bi=∠AB0Bn．

∴點Bi在線段B0Bn上，即線段B0Bn就是點B運動的路徑（或軌跡）．

綜上所述，點B運動的路徑（或軌跡）是線段B0Bn，其長度為．