Question

【題目】中，，的頂點是底邊的中點，兩邊分別與交于點．

（1）如圖1， ，當的位置變化時，是否隨之變化？證明你的結論；

（2）如圖2，當，當 °時，（1）中的結論仍然成立，求出此時的值．

Answer 1

【答案】（1）BF+CE＝a，是定值，不變．見解析；（2）60，9

【解析】

（1）結論：BF＋CE=a，是定值．如圖1中，連接AD．只要證明△BDF≌△ADE即可解決問題；
（2）當∠EDF=60°時，BF＋EC=9，是定值．連接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．只要證明△DMF≌△DNE（ASA），推出FM=EN，由含30°的直角三角形的性質，推出BM=CN=，推出BF＋CE=BMFM＋CN＋EN=2BM，即可解決問題．

解：（1）結論：BF+CE=a，是定值．

理由：如圖1中，連接AD．

∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，

∴AD⊥BC，∠B=∠C=∠BAD=∠CAD=45°，AD=BD=CD．

∵∠EDF=∠ADB=90°，

∴∠BDF=∠ADE，

∴△BDF≌△ADE（ASA），

∴BF=AE，

∴BF+CE=AE+CE=AC=a，是定值．

（2）當∠EDF=60°時，BF+EC=9，是定值．

理由：如圖2中，連接AD，作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．

∵∠AMD=∠AND=90°，∠A=120°，

∴∠MDN=∠EDF=60°，

∴∠MDF=∠NDE，

∵AB=AC，BD=CD，

∴∠BAD=∠CAD，

∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴DM=DN，

∴△DMF≌△DNE（ASA），

∴FM=EN，

∵AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC．

∵∠B=∠C=30°，

∴AD=AB=AC=3，∠BAD=∠CAD=60°．

又∵DM⊥AB，DN⊥AC，

∴∠ADM=∠ADN=30°，

∴AM=AN=AD=，

∴BM=CN=，

∴BF+CE=BM﹣FM+CN+EN=2BM=9，是定值．