Question

【題目】如圖1，已知在平面直角坐標系中，A（，0），B（4，0），C（0，3），過點C作CD∥x軸，與直線AD交于點D，直線AD與y軸交于點E，連接AC、BD，且tan∠DAB=．

（1）求直線AD的解析式和線段BD所在直線的解析式．

（2）如圖2，將△CAD沿著直線CD向右平移得△C1A1D1，當C1A1⊥EA1時，在x軸上是否存在點M，使△A1D1M是以A1D1為腰的等腰三角形，若存在，求出△A1D1M的周長；若不存在，請說明理由．

（3）如圖3，延長DB至F，使得BF=DB，點K為線段AD上一動點，連接KF、BK，將△FBK沿BK翻折得△F′BK，請直接寫出當DK為何值時，△F′BK與△DBK的重疊部分的面積恰好是△FKD的面積的．

Answer 1

【答案】（1）y=x﹣．y=2x﹣8（2）M1（﹣，0），M2（，0），M3（，0）（3） 或

【解析】

（1）如圖1中，作DH⊥x軸于H．解直角三角形求出AH，即可求出點D坐標，只可以待定系數法即可解決問題；

（2）求出直線EA1的解析式可得A1坐標，分兩種情形當A1D1=AM=5時，當D1A1=D1M時，分別求解即可解決問題；

（3）分兩種情形，①若翻折后，點F′在直線AD上方，記F′B與DK交于點S，連接F'D，只要證明四邊形DBKF′是平行四邊形，可得KF=KF′=DB=，設K（m，m﹣），F（，﹣3），可得（m﹣）2+（m﹣+3）2=（）2，解方程即可；

②若翻折后，點F′在直線DA下方，記F′K與BD交于點S，連接DF′，如圖4，四邊形BKDF′是平行四邊形，可得DK=BF′=BF=BD=．

（1）如圖1中，作DH⊥x軸于H．

∵CD∥OH，OC∥DH，∴四邊形CDHO是平行四邊形．

∵∠DHO=90°，∴四邊形CDHO是矩形，∴DH=OC=3，CD=OH．在Rt△ADH中，tan∠DAH==，∴AH=4，OH=OA+AH=，∴D（，3），設直線AD的解析式為y=kx+b，則有，解得：，∴直線AD的解析式為y=x﹣．

設直線BD的解析式為y=k′x+b′，則有，解得：，∴直線BD的解析式為y=2x﹣8．

（2）如圖2中，∵直線AD的解析式為y=x﹣．

∵C（0，3），A（，0），∴直線AC是解析式為y=﹣2x+3．

∵AC∥A1C1，A1C1⊥EA1，∴AC⊥EA1，∴直線EA1的解析式為y=x﹣，∴A1（，0）．

分兩種情況討論：

①當A1D1=AM=5時，以A1為圓心，A1D1為半徑作圓，交x軸于M1，M2，則M1（﹣，0），M2（，0）；

②當D1A1=D1M時，過D1作D1H⊥x軸于H，AD==5，∴A1D1=AD=5．

∵ HD1=3，∴A1H=4，∴A1M=2 A1H =8，∴OM=OA1+A1M==，∴M3（，0）．

綜上所述：滿足條件的點M的坐標M1（﹣，0），M2（，0），M3（，0）．

（3）如圖3中，①若翻折后，點F′在直線AD上方，記F′B與DK交于點S，連接F'D，S△KSB=S△DFK=S△DBK=S△BKF′′，即S△DBK=S△F′BK=S△BKF，∴SB=SF′，KS=DS，∴四邊形DBKF′是平行四邊形，∴KF=KF′=DB=，設K（m，m﹣）．

∵F（，﹣3），∴（m﹣）2+（m﹣+3）2=（）2，解得：m=或﹣，∴K（），∴DK==

②若翻折后，點F′在直線DA下方，記F′K與BD交于點S，連接DF′，如圖4．

∵S△KBS=S△DGK=S△DBK=S△KBF′，即S△BKS=S△BSF′=S△DSK，∴KS=SF′，SB=SD，∴四邊形BKDF′是平行四邊形，∴DK=BF′=BF=BD=．

綜上所述：滿足條件的DK的值為或．