Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知點A（6，0），點B（0，6），動點C在以半徑為3的⊙O上，連接OC，過O點作OD⊥OC，OD與⊙O相交于點D（其中點C、O、D按逆時針方向排列），連接AB．
（1）當OC∥AB時，∠BOC的度數為；
（2）連接AC，BC，當點C在⊙O上運動到什么位置時，△ABC的面積最大？并求出△ABC的面積的最大值；
（3）連接AD，當OC∥AD時，①求出點C的坐標；②直線BC是否為⊙O的切線？請作出判斷，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）45°或135°
（2）解：∵△OAB為等腰直角三角形，

∴AB= OA=6 ，

∴當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，

過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，如圖，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，

∴OE= AB=3 ，

∴CE=OC+OE=3+3 ，

△ABC的面積= CEAB= ×（3+3 ）×6 =9 +18．

∴當點C在⊙O上運動到第三象限的角平分線與圓的交點位置時，

△ABC的面積最大，最大值為9 +18

（3）解：①如圖，過C點作CF⊥x軸于F，

∵OC∥AD，

∴∠COF=∠DAO，

又∵∠ADO=∠CFO=90°

∴Rt△OCF∽Rt△AOD，

∴ = ，即 = ，解得CF= ，

在Rt△OCF中，OF= = ，

∴C點坐標為（﹣ ， ）；

故所求點C的坐標為（﹣ ， ），

當C點在第一象限時，同理可得C點的坐標為（ ， ），

綜上可得，點C的坐標為（﹣ ， ）或（ ， ）．

② 當C點坐標為（﹣ ， ）或（ ， ）時，直線BC是⊙O的切線．理由如下：

在Rt△OCF中，OC=3，CF= ，

∴∠COF=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，

∵在△BOC和△AOD中

，

∴△BOC≌△AOD（SAS），

∴∠BCO=∠ADO=90°，

∴OC⊥BC，

∴直線BC為⊙O的切線；

當C點坐標為（﹣ ， ）或（ ， ）時，顯然直線BC與⊙O相切．

綜上可得：C點坐標為（ ， ）或（﹣ ， ）時，顯然直線BC與⊙O相切．

【解析】解：（1）∵點A（6，0），點B（0，6）， ∴OA=OB=6，
∴△OAB為等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴當C點在y軸左側時，∠BOC=∠OBA=45°；
當C點在y軸右側時，∠BOC=90°+∠OBA=135°；
（1）根據點A和點B坐標易得△OAB為等腰直角三角形，則∠OBA=45°，由于OC∥AB，所以當C點在y軸左側時，有∠BOC=∠OBA=45°；當C點在y軸右側時，有∠BOC=180°﹣∠OBA=135°；（2）由△OAB為等腰直角三角形得AB= OA=6 ，根據三角形面積公式得到當點C到AB的距離最大時，△ABC的面積最大，過O點作OE⊥AB于E，OE的反向延長線交⊙O于C，此時C點到AB的距離的最大值為CE的長，然后利用等腰直角三角形的性質計算出OE，然后計算△ABC的面積；（3）①過C點作CF⊥x軸于F，易證Rt△OCF∽Rt△AOD，則 = ，即 = ，解得CF= ，再利用勾股定理計算出OF= ，則可得到C點坐標；②由于OC=3，CF= ，所以∠COF=30°，則可得到BOC=60°，∠AOD=60°，然后根據“SAS”判斷△BOC≌△AOD，所以∠BCO=∠ADO=90°，再根據切線的判定定理可確定直線BC為⊙O的切線．