Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=a，PB=2a，PC=3a．將△APB繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使AB與BC重合，連接PP′，得到△PBP′．
（1）求證：△PBP′是等腰直角三角形；
（2）猜想△PCP′的形狀，并說明理由．

Answer 1

（1）證明：由圖形旋轉(zhuǎn)可知：△BAP≌△BCP′，
∴BP=BP′=2a，AP=CP′=a，∠ABP=∠CBP′．
由四邊形ABCD是正方形，得∠ABC=90°，
∴∠PBP′=90°，
∴△PBP′是等腰直角三角形．

（2）由（1）知△PBP′是等腰直角三角形，
∴PP′=

(2a)2+(2a)2

=2

2

a，
在△CPP′中，PP′=2

2

a，PC=3a，CP′=a，
且a²+（2

2

a）²=9a²=（3a）²，
∴△PCP′是直角三角形．