Question

【題目】如圖，拋物線與軸分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為，對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式．

（2）若點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心的圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，且與直線相切，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

（3）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)，使得與相似？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或

【解析】

（1）由題意把點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，用待定系數(shù)法可得到二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）根據(jù)題意設(shè)直線CD切⊙P于點(diǎn)E．連結(jié)PE、PA，作CF⊥DQ于點(diǎn)F．通過(guò)DF與CF的長(zhǎng)，說(shuō)明△DCF為等腰直角三角形．設(shè)點(diǎn)P（1，m），用含m的代數(shù)式表示出半徑EP、PA的長(zhǎng)，根據(jù)半徑間關(guān)系，求出m的值從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）根據(jù)題意利用等腰直角三角形，先求出DC和BC的長(zhǎng)，由于∠CBQ=∠CDM，若△DCM與△BQC相似，分兩種情況，利用比例線段求出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)即可．

解：（1）∵，在拋物線上，

代入，得，

解得

∴拋物線的解析式為．

（2）如圖1，設(shè)直線切于點(diǎn)，連接，，作于點(diǎn)．

∴．

由，得對(duì)稱軸為直線，，．

∴，，∴，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形．

設(shè)，則．

在中，，

∴，

∴．

整理，得，

解得．

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．

（3）存在點(diǎn)，使得．

如圖2，連接，，，

∵，，，

∴為等腰直角三角形，

∴，．

由（2）可知，，

∴．

∴與相似有兩種情況，

當(dāng)時(shí)，，解得，

∴．

∴

當(dāng)時(shí)，，解得，

∴，

∴．

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．