Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，—拋物線y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.拋物線的對稱軸與x軸交于點E，過點C作x軸的平行線，與拋物線交于點D，連接DE，延長DE交y軸于點F，連接AD、AF．

（1）點A的坐標為____________，點B的坐標為_________ ；

（2）判斷四邊形ACDE的形狀，并給出證明；

（3）當a為何值時，△ADF是直角三角形?

Answer 1

【答案】（1）點A（﹣1，0），點B（3，0）；（2）四邊形ACDE是平行四邊形．證明見解析；（3）當或時，△ADF為直角三角形．

【解析】

（1）根據拋物線的解析式可知當y=0時，x=﹣1或x=3，即可得解；

（2）由（1）可得拋物線對稱軸為直線x=1，根據拋物線圖象性質易得AE=CD=2，又因為，所以四邊形ACDE是平行四邊形；

（3）過點D作DG⊥AB于點G，通過“角邊角”易證△OEF ≌△DEG，OF=GD=3a，即F點坐標為（0，-3a），①若∠DAF=90°，則∠DAG+∠FAO=90°，然后證明△AOF∽△DGA，得到，然后求得符合題意的a即可；②若∠DFA=90°，則∠DFC+∠AFO=90°，易得OF垂直平分AE，AF=EF，則∠DFC=∠AFO=45°，所以OF=OA，即，a=.

解（1）根據題意可知，

∵y=﹣a(x+1)(x﹣3)，

∴當y=0時，x=﹣1或x=3，

∴點A（﹣1，0），點B（3，0）；

（2）四邊形ACDE是平行四邊形．

證明如下：令，得，即，

∵點A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線的對稱軸為直線x=1，

∴點D（2，3a），E（1，0），

∴AE=CD=2，

又，

∴四邊形ACDE是平行四邊形；

（3）過點D作DG⊥AB于點G，由，可知OE=GE，

又∵∠FOE=∠DGE=90°，∠OEF=∠GED，

∴△OEF ≌△DEG（ASA），

∴OF=GD=3a，

∴F點坐標為（0，-3a），

討論：①若∠DAF=90°，則∠DAG+∠FAO=90°，

又∠FAO+∠AFO=90°，

∴∠DAG=∠AFO，

又∠AOF=∠DGA=90°，

∴△AOF∽△DGA，

∴，

即，

∴，

∵a > 0，

∴，

∵以上各步均可逆，故合題意；

②若∠DFA=90°，則∠DFC+∠AFO=90°，

又∵，

∴OF垂直平分AE，

∴AF=EF，

∴∠DFC=∠AFO=45°，

∴OF=OA，

∴，

∴，

∵以上各步均可逆，故合題意.

綜上，當或時，△ADF為直角三角形．