Question

【題目】如圖，在任意四邊形ABCD中，AC，BD是對角線，E、F、G、H分別是線段BD、BC、AC、AD上的點，對于四邊形EFGH的形狀，某班的學生在一次數學活動課中，通過動手實踐，探索出如下結論，其中錯誤的是（ ）

A. 當E，F，G，H是各條線段的中點時，四邊形EFGH為平行四邊形

B. 當E，F，G，H是各條線段的中點，且AC⊥BD時，四邊形EFGH為矩形

C. 當E，F，G，H是各條線段的中點，且AB=CD時，四邊形EFGH為菱形

D. 當E，F，G，H不是各條線段的中點時，四邊形EFGH可以為平行四邊形

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：A.用三角形的中位線定理判斷四邊形EFGH的形狀；B.判斷四邊形EFGH的內角能否為直角；C.根據菱形的定義判斷；D.當AD＝3DH，BD＝3DE，AC＝3CG，BC＝3CF時判斷四邊形EFGH是平行四邊形.

詳解：如圖1，∵E，F，G，H分別是線段BD，BC，AC，AD的中點，

∴EF＝CD，FG＝AB，GH＝CD，HE＝AB，

∴EF＝GH，FG＝HE，∴四邊形EFGH為平行四邊形.

則A正確；

如圖2，當AC⊥BD時，∠1＝90°，

∠1>∠2>∠EHG，∴四邊形EHGF不可能是矩形，則B錯誤；

AB＝CD，∴EF＝FG＝GH＝HE，∴四邊形EFGHB是菱形.

則C正確；

如圖3，當E，F，H，G是相應線段的三等分點時，四邊形EFGH是平行四邊形.

∵E，F，H，G是相應線段的三等分點，∴△EHD∽△BAD，△CFG∽△CBA，

， ，∴EH＝FG，

又∵EH∥AB，FG∥AB，∴EH∥FG，

∴四邊形EFGH是平行四邊形，則D正確.

故選B.