Question

【題目】已知二次函數y=x2﹣2x+c（c＜0）的圖象與x軸交于A，B兩點（A點在B點的左側），與y軸交于點C，且OB=OC．

（Ⅰ）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（Ⅱ）直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點，連接BE，線段OC上的點F關于直線l的對稱點F′恰好在線段BE上，求點F的坐標；

（Ⅲ）若有動點P在線段OB上，過點P作x軸的垂線分別與BC交于點M，與拋物線交于點N，試問：拋物線上是否存在點Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段NQ的長度最小？如果存在，求出點Q的坐標；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）y=x2﹣2x﹣3；（1，﹣4）；（Ⅱ）點F的坐標為（0，﹣2）；（Ⅲ）存在，滿足題意的點Q的坐標為和．

【解析】分析：

（1）由已知條件易得點C的坐標為（0，c），結合OB=OC，點A在點B的左側可得點B的坐標為（-c，0），把點B的坐標（-c，0）代入y=x2﹣2x+c中結合c<0即可求得c的值，從而得到拋物線的解析式，將所得解析式化為頂點式即可得到拋物線的頂點坐標；

（2）由（1）可知拋物線的對稱軸為直線x=1，設點F的坐標為（0，m），則點F′的坐標為（2，m），由（1）可得點B、E的坐標，則由此可求得直線BE的解析式，把F′的坐標代入所得BE的解析式即可求得m的值，從而可得此時點F的坐標；

（3）如下圖，設點P的坐標為（n，0），則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n-3，

作QR⊥PN，垂足為R，由S△PQN=S△APM，可得（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR化簡整理可得：QR=1，然后分點Q在PN的右側和左側兩種情況分別用含n的式子表達出點R和N的坐標，然后在Rt△QRN中由勾股定理用含n的式子表達出NQ2，即可求得NQ最小時n的值，由此即可求出對應的點Q的坐標了.

詳解：

（Ⅰ）∵y=x2﹣2x+c（c＜0），

∴點C的坐標為（0，c），

∵OB=OC，點A在點B的左側，

∴點B的坐標為（﹣c，0），

將（﹣c，0）代入y=x2﹣2x+c，

解得c=﹣3或c=0（舍去）

∴c=﹣3，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，配方得y=（x﹣1）2﹣4，

∴頂點坐標為（1，﹣4）；

（Ⅱ）設點F的坐標為（0，m），

∵對稱軸為直線l：x=1，

∴點F關于直線的對稱點F′的坐標為（2，m），

設直線BE的解析式為y=kx+b，

由（1）可知點B、E的坐標分別為（3，0），（1，﹣4），將兩個坐標代入y=kx+b得：

，解得，

∴直線BE的解析式為y=2x﹣6，

∵點F′在直線BE上，

∴m=2×2﹣6=﹣2，

∴點F的坐標為（0，﹣2）；

（Ⅲ）存在，

如下圖所示，設點P的坐標為（n，0），

則PA=n+1，PB=PM=3﹣n，PN=﹣n2+2n-3，

作QR⊥PN，垂足為R，

∵S△PQN=S△APM，

∴（n+1）（3﹣n）=（﹣n2+2n+3）QR，

∴QR=1，

①點Q在直線PN的右側時，Q點坐標為（n+1，n2﹣4），R點的坐標為（n，n2﹣4），N點的坐標為（n，n2﹣2n﹣3），

∴QR=1，RN=2n-1，

∴在Rt△QNR中，NQ2=1+（2n﹣1）2，

∴當n=時，NQ取最小值，此時Q點的坐標為，

②點Q在直線PN的左側時，Q點的坐標為（n﹣1，n2﹣4n）

同①可得：NQ2=1+（-2n+3）2，

∴當n=時，NQ取最小值，此時Q點的坐標為，

綜上所述，滿足題意點Q坐標為和．