Question

【題目】已知二次函數y=ax2﹣8ax（a＜0）的圖象與x軸的正半軸交于點A，它的頂點為P．點C為y軸正半軸上一點，直線AC與該圖象的另一交點為B，與過點P且垂直于x軸的直線交于點D，且CB：AB=1：7．

（1）求點A的坐標及點C的坐標（用含a的代數式表示）；
（2）連接BP，若△BDP與△AOC相似（點O為原點），求此二次函數的關系式．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵y=ax2﹣8ax=a（x﹣4）2﹣16a，

∴P（4，﹣16a），

當ax2﹣8ax=0，

解得：x1=0，x2=8，

∴A（8，0），

∵CB：AB=1：7，

∴點B的橫坐標為1，

∴B（1，﹣7a），

∴C（0，﹣8a）

（2）解：∵△AOC為直角三角形，

∴只可能∠PBD=90°，且△AOC∽△PBD，

設對稱軸與x軸交于點H，過點B作BF⊥PD于點F，

可得，BF=3，AH=4，DH=﹣4a，則FD=﹣3a，

∴PF=﹣9a，

由相似，可知：BF2=DFPF，

則9=﹣9a（﹣3a），

解得：a= ，a=﹣ （舍去）．

故拋物線解析式為：y=﹣ x2﹣ x．

【解析】（1）解析式可配成頂點式，求出頂點P（4，﹣16a），令y=0,求出A（8，0），由已知CB：AB=1：7，可求出C（0，﹣8a）；（2）由已知△BDP與△AOC相似，△AOC為直角三角形，可分析出只可能∠PBD=90°，對應邊成比例可得BF2=DFPF，進而求出a.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的判定與性質的相關知識，掌握相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．