Question

3．如圖，在平面直角坐標系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0≤t≤6）．
（1）設△POQ的面積為s，寫出s關于t的函數關系式；當t為何值時，△POQ的面積最大，這時面積是多少
（2）當t為何值時，△POQ與△AOB相似？

Answer 1

分析 （1）直接根據三角形的面積公式即可得出結論；
（2）分△POQ∽△AOB與△POQ∽△BOA兩種情況進行討論．

解答 解：（1）∵OB=6厘米．點P從點O開始沿OA邊向點A以1厘米/秒的速度移動；點Q從點B開始沿BO邊向點O以1厘米/秒的速度移動，
∴OB=6-t，OP=t，
∴s=OQ•OP=$\frac{1}{2}$（6-t）t=-$\frac{1}{2}$t²+3t，（0≤t≤6）
配方得，s=-$\frac{1}{2}$t²+3t=-$\frac{1}{2}$（t-3）²+$\frac{9}{2}$，
因為-$\frac{1}{2}$＜0，所以，當t=3時，s有最大值$\frac{9}{2}$．

（2）①若△POQ∽△AOB時，$\frac{OQ}{OB}$=$\frac{OP}{OA}$，即$\frac{6-t}{6}$=$\frac{t}{12}$，
整理得，12-2t=t，解得，t=4；
②若△POQ∽△BOA時，$\frac{OQ}{OA}$=$\frac{OP}{OB}$，即$\frac{6-t}{12}$=$\frac{t}{6}$，
整理得：6-t=2t，解得：t=2．
∵0≤t≤6，
∴t=4和t=2均符合題意，
∴當t=4或t=2時，△POQ與△AOB相似．

點評 本題考查的是相似形綜合題，涉及到三角形的面積公式及相似三角形的性質，在解答（2）時要注意進行分類討論．