Question

【題目】如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，．

（1）求證：∠BAE=∠FEC

（2）取邊AB的中點G，連接EG，求證：EG=CF；

（3）將△ECF繞點E逆時針旋轉90° 得△EC′A， 如圖2，指出AC′與EG的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）AC′//EG.

【解析】試題分析：（1）由同角的余角相等，即可得到結論；

（2）用ASA證明△AGE≌△ECF即可；

（3）結論：AC′//EG．證明四邊形AGEC′為平行四邊形即可．

試題解析：解：（1）四邊形ABCD是正方形，∴∠B =90°，∠AEB+∠BAE=90°．

∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF；

（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠B=∠BCD=∠DCG=90°．

∵取AB的中點G，點E是邊BC的中點，∴AG=EC=BE，∴∠BGE=∠BEG=45°，∴∠AGE=135°．

∵CF平分∠DCG，∴∠DCF=∠FCG=45°，∴∠ECF=180°-∠FCG=135°，∴∠AGE=∠ECF．

因為∠GAE=∠CEF，∴△AGE≌△ECF（ASA），∴EG=CF；

（3）AC′與EG的位置關系是：AC′//EG．

∵∠C′EC=∠B=90°，∴AG//C′E．

∵AG=C′E，∴四邊形AGEC′為平行四邊形，∴AC′//EG．