Question

【題目】探究;

（）如圖， 、為的邊、上的兩定點，在上求作一點，使的周長最短．（不寫作法）

（）如圖，矩形中， ， ， 、分別為邊、的中點，點、分別為、上的動點，求四邊形周長的最小值．

（）如圖，正方形的邊長為，點為邊中點，在邊、、上分別確定點、、．使得四邊形周長最小，并求出最小值．

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）；（3）．

【解析】（1）

試題分析：（1）利用軸對稱圖形的性質(zhì)，作點P關(guān)于BC的對稱點P′，連接P′Q，交BC于點M，則M是所求的點；（2）如圖，延長EB至E'使E' B=EB，延長FD至F'使F' D=FD，連接E' F'交BC、CD于M、N．此時四邊形EFNM周長最小．根據(jù)勾股定理求得EF、E' F'的長，即可得四邊形OMNP周長的最小值；（3）如圖，延長到使，延長至使．作關(guān)于直線對稱的點，連接交、于、．連交于，即為周長最小．根據(jù)正方形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)易得、、為各邊中點，所以四邊形周長的最小值為．

試題解析：

（）如圖，作點關(guān)于的對稱點，連接，交于點，點是所求的點．

（）如圖，延長至使，延長至使，連接交、于、．此時四邊形周長最小．

周長 ．

（）如圖，延長到使，延長至使．

作關(guān)于直線對稱的點，連接交、于、．

連交于，即為周長最小．

易得、、為各邊中點，周長為．