Question

【題目】定義：對于給定的兩個函數，任取自變量x的一個值，當x＜0時，它們對應的函數值互為相反數；當x≥0時，它們對應的函數值相等，我們稱這樣的兩個函數互為相關函數．例如：一次函數y=x﹣1，它的相關函數為．

（1）已知點A（﹣5，8）在一次函數y=ax﹣3的相關函數的圖象上，求a的值；

（2）已知二次函數．

①當點B（m， ）在這個函數的相關函數的圖象上時，求m的值；

②當﹣3≤x≤3時，求函數的相關函數的最大值和最小值；

（3）在平面直角坐標系中，點M，N的坐標分別為（﹣，1），（，1}），連結MN．直接寫出線段MN與二次函數的相關函數的圖象有兩個公共點時n的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）①m=2﹣或m=2+或m=2﹣；②最大值為，最小值為﹣；（3）﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．

【解析】試題分析：（1）函數y=ax﹣3的相關函數為，將然后將點A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3求解即可；

（2）二次函數的相關函數為，①分為m＜0和m≥0兩種情況將點B的坐標代入對應的關系式求解即可；②當﹣3≤x＜0時， ，然后可 此時的最大值和最小值，當0≤x≤3時，函數，求得此時的最大值和最小值，從而可得到當﹣3≤x≤3時的最大值和最小值；

（3）首先確定出二次函數的相關函數與線段MN恰好有1個交點、2個交點、3個交點時n的值，然后結合函數圖象可確定出n的取值范圍．

試題解析：解：（1）函數y=ax﹣3的相關函數為，將點A（﹣5，8）代入y=﹣ax+3得：5a+3=8，解得：a=1．

（2）二次函數的相關函數為 ；

①當m＜0時，將B（m， ）代入得，解得：m=2+（舍去）或m=2﹣．

當m≥0時，將B（m， ）代入得： ，解得：m=2+或m=2﹣．

綜上所述：m=2﹣或m=2+或m=2﹣．

②當﹣3≤x＜0時， ，拋物線的對稱軸為x=2，此時y隨x的增大而減小，∴此時y的最大值為．

當0≤x≤3時，函數，拋物線的對稱軸為x=2，當x=0有最小值，最小值為﹣，當x=2時，有最大值，最大值y=．

綜上所述，當﹣3≤x≤3時，函數的相關函數的最大值為，最小值為﹣；

（3）如圖1所示：線段MN與二次函數的相關函數的圖象恰有1個公共點．

所以當x=2時，y=1，即﹣4+8+n=1，解得n=﹣3．

如圖2所示：線段MN與二次函數的相關函數的圖象恰有3個公共點

∵拋物線與y軸交點縱坐標為1，∴﹣n=1，解得：n=﹣1，∴當﹣3＜n≤﹣1時，線段MN與二次函數的相關函數的圖象恰有2個公共點．

如圖3所示：線段MN與二次函數的相關函數的圖象恰有3個公共點．

∵拋物線經過點（0，1），∴n=1．

如圖4所示：線段MN與二次函數的相關函數的圖象恰有2個公共點．

∵拋物線經過點M（﹣，1），∴+2﹣n=1，解得：n=，∴1＜n≤時，線段MN與二次函數的相關函數的圖象恰有2個公共點．

綜上所述，n的取值范圍是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤．