Question

【題目】有一塊銳角三角形卡紙余料ABC，它的邊BC=120cm，高AD=80cm，為使卡紙余料得到充分利用，現把它裁剪成一個鄰邊之比為2：5的矩形紙片EFGH和正方形紙片PMNQ，裁剪時，矩形紙片的較長邊在BC上，正方形紙片一邊在矩形紙片的較長邊EH上，其余頂點均分別在AB，AC上，具體裁剪方式如圖所示。

（1）求矩形紙片較長邊EH的長；

（2）裁剪正方形紙片時，小聰同學是按以下方法進行裁剪的：先沿著剩余料中與邊EH平行的中位線剪一刀，再沿過該中位線兩端點向邊EH所作的垂線剪兩刀，請你通過計算，判斷小聰的剪法是否正確.

Answer 1

【答案】（1）75（2）小聰的剪法不正確

【解析】

（1）易證，根據相似三角形對應線段成比例可求得EH長；（2）設正方形的邊長為a cm，用a的式子表示出AK，根據，對應線段成比例可求出a，再求出與邊EH平行的中位線的長，比較可知小聰的減法是否正確.

解：（1）記AD與PQ，EH的交點分別為點K，R.

設cm， cm，由矩形的性質，得，易證，

∴，即，

解得，（cm），∴矩形紙片較長邊EH的長為75cm.

（2）小聰的剪法不正確.理由如下：

設正方形的邊長為a cm；，，由題意易得，，∴，即，解得.

與邊EH平行的中位線的長為（cm），∵，∴小聰的剪法不正確.