Question

【題目】問題提出：

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADC＝60°，則四邊形ABCD的面積為　 　；

問題探究：

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ABC＝135°，AB＝2，BC＝3，在AD、CD上分別找一點E、F，使得△BEF的周長最小，并求出△BEF的最小周長；

問題解決：

（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝10，∠ABC＝150°，∠BCD＝90°，則在四邊形ABCD中（包含其邊沿）是否存在一點E，使得∠AEC＝30°，且使四邊形ABCE的面積最大．若存在，找出點E的位置，并求出四邊形ABCE的最大面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）△BEF的最小周長為2；（3）8+4，見解析

【解析】

（1）利用SAS可證明△ABD≌△CBD，可得∠ADB＝∠CDB＝30°，進而可求AB的長，進一步即可求出四邊形ABCD的面積；

（2）如圖，作點B關于AD的對稱點M，作點B關于CD的對稱點N，連接MN，交AD于點E，交CD于點F，由軸對稱的性質可得△BEF的最小周長即為MN的長，再由勾股定理求出MN的長即得結果；

（3）作△ABC的外接圓，交CD于點E，連接AC，AE，過點A作AM⊥CD于點M，作BN⊥AM于點N，由圓內接四邊形的性質可得∠AEC＝30°，由矩形的性質和解直角三角形的知識可求得AM與CM的長，進一步即可求得AE與CE的長，進而確定當點E在AC的垂直平分線上時，S四邊形ABCE最大，問題即得解決．

解：（1）∵AB＝BC，AD＝CD＝3，∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB，

∵∠ADC＝60°，

∴∠ADB＝∠CDB＝30°，

∴AB＝BC＝，

∴四邊形ABCD的面積＝2S△ABD＝2××3×＝3.

故答案為：3；

（2）如圖，作點B關于AD的對稱點M，作點B關于CD的對稱點N，連接MN，交AD于點E，交CD于點F，過點M作MG⊥BC，交CB的延長線于點G，

∵點B，點M關于AD對稱，∴BE＝EM，AB＝AM＝2，∴BM＝4，

∵點B，點N關于CD對稱，∴BF＝FN，BC＝CN＝3，

∴△BEF的周長＝BE+BF+EF＝NF+EF+EM＝MN，

由軸對稱的性質知：此時MN的長即為△BEF周長的最小值.

∵∠ABC＝135°，∴∠GBM＝45°，

∴∠GBM＝∠GMB＝45°，

∴BG＝GM，

∵BG2+GM2＝BM2，

∴BG＝4＝GM，

∴GN＝BG+BC+CN＝4+3+3＝10，

∴在Rt△GMN中，MN＝＝＝2，

∴△BEF的最小周長為2.

（3）作△ABC的外接圓，交CD于點E，連接AC，AE，過點A作AM⊥CD于點M，作BN⊥AM于點N，

∵四邊形ABCE是圓內接四邊形，

∴∠ABC+∠AEC＝180°，

∴∠AEC＝30°，

∵BN⊥AM，AM⊥CD，∠BCD＝90°，

∴四邊形BCMN是矩形，

∴BC＝MN＝2，BN＝CM，∠CBN＝90°，

∵∠ABC＝150°，

∴∠ABN＝60°，∴∠BAN＝30°，

∴BN＝AB＝1，AN＝BN＝，

∴AM＝+2，CM＝1，

∵∠AEC＝30°，AM⊥CE，

∴AE＝2AM＝2+4，ME＝AM＝3+2，

∴CE＝CM+ME＝4+2＝AE，

∴點E在AC垂直平分線上，

∵S四邊形ABCE＝S△ABC+S△ACE，且S△ABC是定值，AC長度是定值，點E在△ABC的外接圓上，

∴當點E在AC的垂直平分線上時，S四邊形ABCE最大，

此時S四邊形ABCE＝S四邊形ABCM+S△AME＝××1+＝8+4.