Question

【題目】操作與證明：如圖1，把一個含45°角的直角三角板ECF和一個正方形ABCD擺放在一起，使三角板的直角頂點和正方形的頂點C重合，點E、F分別在正方形的邊CB、CD上，連接AF．取AF中點M，EF的中點N，連接MD、MN．

（1）連接AE，求證：△AEF是等腰三角形；

猜想與發現：

（2）在（1）的條件下，請判斷MD、MN的數量關系和位置關系，得出結論．

結論1：DM、MN的數量關系是 ；

結論2：DM、MN的位置關系是 ；

拓展與探究：

（3）如圖2，將圖1中的直角三角板ECF繞點C順時針旋轉180°，其他條件不變，則（2）中的兩個結論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明參見解析；（2）相等，垂直；（3）成立，理由參見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據正方形的性質以及等腰直角三角形的知識證明出CE=CF，繼而證明出△ABE≌△ADF，得到AE=AF，從而證明出△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數量關系是相等，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半和三角形中位線定理即可得出結論.位置關系是垂直，利用三角形外角性質和等腰三角形兩個底角相等性質，及全等三角形對應角相等即可得出結論；（3）成立，連接AE，交MD于點G，標記出各個角，首先證明出MN∥AE，MN=AE，利用三角形全等證出AE=AF，而DM=AF，從而得到DM，MN數量相等的結論，再利用三角形外角性質和三角形全等，等腰三角形性質以及角角之間的數量關系得到∠DMN=∠DGE=90°．從而得到DM、MN的位置關系是垂直.

試題解析：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF=90°，∵△CEF是等腰直角三角形，∠C=90°，∴CE=CF，∴BC﹣CE=CD﹣CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，∴△AEF是等腰三角形；（2）DM、MN的數量關系是相等，DM、MN的位置關系是垂直；∵在Rt△ADF中DM是斜邊AF的中線，∴AF=2DM，∵MN是△AEF的中位線，∴AE=2MN，∵AE=AF，∴DM=MN；∵∠DMF=∠DAF+∠ADM，AM=MD，∵∠FMN=∠FAE，∠DAF=∠BAE，∴∠ADM=∠DAF=∠BAE，∴∠DMN=∠FMN+∠DMF=∠DAF+∠BAE+∠FAE=∠BAD=90°，∴DM⊥MN；（3）（2）中的兩個結論還成立，連接AE，交MD于點G，∵點M為AF的中點，點N為EF的中點，∴MN∥AE，MN=AE，由已知得，AB=AD=BC=CD，∠B=∠ADF，CE=CF，又∵BC+CE=CD+CF，即BE=DF，∴△ABE≌△ADF，∴AE=AF，在Rt△ADF中，∵點M為AF的中點，∴DM=AF，∴DM=MN，∵△ABE≌△ADF，∴∠1=∠2，∵AB∥DF，∴∠1=∠3，同理可證：∠2=∠4，∴∠3=∠4，∵DM=AM，∴∠MAD=∠5，∴∠DGE=∠5+∠4=∠MAD+∠3=90°，∵MN∥AE，∴∠DMN=∠DGE=90°，∴DM⊥MN．所以（2）中的兩個結論還成立.