Question

【題目】在平面直角坐標系中，點為第一象限內一點，點為軸正半軸上一點，分別連接，，為等邊三角形，點的橫坐標為4.

（1）如圖1，求線段的長；

（2）如圖2，點在線段上（點不與點、點重合），點在線段的延長線上，連接，，，設的長為，的長為，求與的關系式（不要求寫出的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，點為第四象限內一點，分別連接，，，為等邊三角形，線段的垂直平分線交的延長線于點，交于點，連接，交于點，連接，若，求點的橫坐標.

Answer 1

【答案】(1)8;（2）d=t+8;(3)6

【解析】

（1）過點B作BH⊥OA于點H，根據等邊三角形的性質解答即可；
（2）過點M作MP⊥AB于點P，根據等邊三角形的性質解答即可；
（3）過點N作NK∥OB，交x軸于點K，過點N作NR⊥x軸于點R，通過等邊三角形的性質和全等三角形的性質得到AN=8+t-8=t，OM=t，AH=MH=AM=（8-t）=4-t，
OH=OM+MH=t+4-t=4+t，通過證明AM=AN，可得關于t的方程，求出t，即可得點E的橫坐標．

解：（1）如圖，過點B作BH⊥OA于點H，

∵△AOB為等邊三角形，
∴BO=BA，
∵BH⊥OA，
∴OH=AH，
∵點B橫坐標為4，
∴OH=4，
∴OA=2HO=8；
（2）如圖，過點M作MP⊥AB于點P，

∴∠MPA=90°，
∵BM=MN，
∴BP=PN，
∵△AOB為等邊三角形，
∴BA=AO=8，∠BAO=60°，
∴∠AMP=30°，
∴AP=AM，
∵AM=8-t，
∴AP=（8-t）=4-t，
∴BP=AB-AP=4+t，
∴BN=2BP=8+t，
∴d=8+t
（3）過點N作NK∥OB，交x軸于點K，過點N作NR⊥x軸于點R，

∵△AOB為等邊三角形，
∴∠BOA=60°=∠OAB，
∵NK∥OB，
∴∠NKA=∠BOA=60°，且∠OAB=∠NAK=60°，
∴∠NAK=∠NKA=60°，
∴△AKN是等邊三角形
∴AN=NK=AK，
∵△MND為等邊三角形，
∴∠NMD=∠MND=60°，MN=MD，
∴∠OMD+∠NMK=∠NMK+∠MNK=180°-60°=120°，
∴∠OMD=∠MNK，
∵AN=8+t-8=t，OM=t，
∴OM=AN=NK=AK=t，且∠OMD=∠MNK，MD=MN，
∴△OMD≌△KNM（SAS），
∴OD=MK，∠MOD=∠MKN=60°，
∵MK=8-t+t=8，
∴OD=8，
∵EH垂直平分MA，
∴AH=MH=AM=（8-t）=4-t，
∴OH=OM+MH=t+4-t=4+t，
∵∠OEH=90°-60°=30°，
∴OE=2HO=8+t，
∴DE=8+t-8=t，
∴DE=AN，
∵∠DOA=∠BAO，
∴BN∥OE，
∴∠NAF=∠DEF，
又∵∠AFN=∠EFD，AN=DE，
∴△AFN≌△EFD（AAS），
∴FN=FD，
又∵MN=MD，
∴MF⊥DN，
∵NR⊥AK，
∴∠ARN=90°，且∠NAK=60°，
∴∠ANR=30°，
∴AR=AN，
∵MR=AM+AR=AM+AN，MF=AM+AN，
∴MR=MF，且MF⊥DN，NR⊥AK，
∴∠MNR=∠MND=60°，
∴∠NMA=90°-60°=30°，
∵∠BAO=∠AMN+∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM=30°，
∴AM=AN，
∴8-t=t，
∴t=4，
∴OH=4+×4=6，
∴點E的橫坐標為6．