Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點，對稱軸與拋物線相交于點D、與直線BC相交于點E，連接DE．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）平面直角坐標系中是否存在一點R，使點R、D、B所成三角形和△DEB全等？若存在，求點R的坐標；若不存在，說明理由；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使△PEB的面積是△BDE的面積的一半？若存在，直接寫出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3）三點，
∴

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=-3

，
解得

a=1 b=-2 c=-3

，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴拋物線的對稱軸為直線x=1，頂點D（1，-4），
易求直線BC的解析式為y=x-3，
當x=1時，y=1-3=-2，
∴點E的坐標為（1，-2），
DE=-2-（-4）=-2+4=2，
∵點R、D、B所成三角形和△DEB全等，
∴①BR₁∥DE且BR₁=DE時，點R₁的坐標（3，-2）；
②點E、R₂關于BD對稱時，設ER₂與BD相交于F，過點F作FG⊥DE于G，
由勾股定理得，BD=

42+(3-1)2

=2

5

，
∴FD=DE•cos∠BDE=2×

4

2 5

=

4 5

5

，
FG=FD•sin∠BDE=

4 5

5

×

2

2 5

=

4

5

，
DG=FD•cos∠BDE=

4 5

5

×

4

2 5

=

8

5

，
∴點R₂的橫坐標是1+

4

5

×2=

13

5

，
縱坐標為-2-2×（2-

8

5

）=-

14

5

，
∴R₂的坐標為（

13

5

，-

14

5

）；
③點R₁關于BD的對稱點時的點R₃的坐標時，
點R₃的橫坐標為3-

4

5

×2=

7

5

，
縱坐標為-2+2×（2-

8

5

）=-

6

5

，
所以，R₃的坐標為（

7

5

，-

6

5

）；
綜上所述，點R為（3，-2）或（

13

5

，-

14

5

）或（

7

5

，-

6

5

）時，點R、D、B所成三角形和△DEB全等；

（3）∵△PEB的面積是△BDE的面積的一半，
∴點P到DE的距離等于點B到DE的一半，
∵點B到DE的距離為3-1=2，
∴點P到DE的距離為1，
∴點P的橫坐標為0或2，
當x=0時，y=0²-2×0-3=-3，
當x=2時，y=2²-2×2-3=-3，
∴點P的坐標為（0，-3）或（2，-3）．