Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，函數y＝﹣x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，與函數y＝x+b的圖象交于點C（﹣2，m）．

（1）求m和b的值；

（2）函數y＝x+b的圖象與x軸交于點D，點E從點D出發沿DA方向，以每秒2個單位長度勻速運動到點A（到A停止運動）．設點E的運動時間為t秒．

①當△ACE的面積為12時，求t的值；

②在點E運動過程中，是否存在t的值，使△ACE為直角三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）m的值是4，b的值是；（2）①當△ACE的面積為12時，t的值是5；②存在，當t＝4或t＝6時，△ACE是直角三角形．

【解析】

（1）將點C坐標代入直線y＝﹣x+2中即可求出m的值，從而求出點C的坐標，然后將點C的坐標代入y＝x+b中即可求出b的值；

（2）①根據兩個一次函數的解析式分別求出點A、B、D的坐標，從而求出AD，由題意可得，DE＝2t，則AE＝16﹣2t，然后利用三角形的面積公式列出方程即可求出t的值；

②根據直角三角形直角頂點的情況分類討論：當∠ACE＝90°時，AC⊥CE，根據平面直角坐標系中任意兩點之間的距離公式即可求出AC，證出△ACE為等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t；當∠CEA＝90°時，證出△ACE為等腰直角三角形即可求出AE然后列方程即可求出t．

（1）∵點C（﹣2，m）在直線y＝﹣x+2上，

∴m＝﹣（﹣2）+2＝2+2＝4，

∴點C（﹣2，4），

∵函數y＝x+b的圖象過點C（﹣2，4），

∴4＝×（﹣2）+b，得b＝，

即m的值是4，b的值是；

（2）①∵函數y＝﹣x+2的圖象與x軸，y軸分別交于點A，B，

∴點A（2，0），點B（0，2），

∵函數y＝x+的圖象與x軸交于點D，

∴點D的坐標為（﹣14，0），

∴AD＝16，

由題意可得，DE＝2t，則AE＝16﹣2t，

∵△ACE的面積為12，點C的坐標為（﹣2，4），

∴＝12，

解得，t＝5

即當△ACE的面積為12時，t的值是5；

②當t＝4或t＝6時，△ACE是直角三角形，

理由：當∠ACE＝90°時，AC⊥CE，

∵點A（2，0），點B（0，2），點C（﹣2，4），點D（﹣14，0），

∴OA＝OB，AC＝4，

∴∠BAO＝45°，

∴∠CAE＝45°，

∴∠CEA＝45°，

∴CA＝CE＝4，

∴△ACE為等腰直角三角形

∴AE＝8，

∵AE＝16﹣2t，

∴8＝16﹣2t，

解得，t＝4；

當∠CEA＝90°時，

∵AC＝4，∠CAE＝45°，

∴△ACE為等腰直角三角形

∴AE＝4，

∵AE＝16﹣2t，

∴4＝16﹣2t，

解得，t＝6；

由上可得，當t＝4或t＝6時，△ACE是直角三角形．