Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，E是BO的中點，過B點作AC的平行線，交CE的延長線于點F，連接BF。

（1）求證：FB=AO；

（2）平行四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形AFBO是矩形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）當平行四邊形ABCD是菱形時，四邊形AFBO是矩形．

【解析】

（1）證明△BEF≌△OEC，即可得出結論；

（2）先證明四邊形AFBO是平行四邊形，然后根據OA⊥OB得到平行四邊形AFBO是矩形.

證明：（1）∵E是BO的中點，
∴OE=BE，
∵BF∥AC，
∴∠BFE=∠OCE，
在△BEF和△OEC中，

∴△BEF≌△OEC，
∴BF=OC，
∵平行四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，
∴OA=OC，
∴FB=AO；

（2）當平行四邊形ABCD是菱形時，四邊形AFBO是矩形．理由如下：

∵BF∥AC，FB=AO，

∴四邊形AFBO是平行四邊形，
∵平行四邊形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB，

∴∠AOB=90°.
∴平行四邊形AFBO是矩形．